2018年大学入試センター試験数学1A第1問[1] ②[ア]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第1問[1]の[ア]までを解説します。

過去問をお持ちでない方は、数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトなどで問題を入手されることをオススメします。


■ 問題

第1問

[1] xを実数とし

  A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)

とおく。整数nに対して

  (x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+[ア]n

であり、したがって、X=x(5-x)とおくと

  A=X(X+[イ])(X+[ウエ])

と表せる。

 x=(5+√17)/2のとき、X=[オ]であり、A=2^[カ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ 解説

まずは設問の意味をよく理解しましょう!

「xを実数としA=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)とおく」

とあります。
「xが合計6個あるので6次式!そんなの無理!パス!」という人もいると思いますが、必ず数学1Aの範囲の知識で解ける問題になっているので、焦らず続きの内容を確認していきましょう!

「整数nに対して (x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+[ア]n」

唐突に(?)Aとは異なる式が出てきました。
ここまで読んだだけでは全貌はつかめませんが、まずはこの等式を検討してみればいいのではないか?と考えてください。


では、[ア]を含む等式を詳しくみていきましょう!

(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+[ア]n

左辺には(x+n)(n+5-x)、右辺にはx(5-x)+n^2+[ア]nという式があり、イコールで結ばれています。

もう一度言います。「イコールで結ばれています」

イコールで結ばれているということは・・・

当然のことながら、「計算すれば等しい」ですね!

つまり、左辺を計算すれば必ず右辺と等しくなるはずです。やってみましょう!

 (x+n)(n+5-x)
=nx+5x-x^2+n^2+5n-nx

あとは右辺の「x(5-x)+n^2+[ア]n」と等しくなるように変形します。

=5x-x^2+nx-nx+n^2+5n
=x(5-x)+n^2+5n       ←xでくくり、nxの項を相殺した

これで目標の形になりました。比較してみると、空欄[ア]のところは5ですね!

よって、[ア]=5

次の記事は③[ウエ]まで



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