2018年大学入試センター試験数学1A第1問[1] ③[ウエ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第1問[1]の[ウエ]までを解説します。

コレより前の内容は、①問題と前置き②[ア]までをご覧ください。

過去問をお持ちでない方は、数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトなどで問題を入手されることをオススメします。


■ 問題

第1問

[1] xを実数とし

  A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)

とおく。整数nに対して

  (x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+[ア]n

であり、したがって、X=x(5-x)とおくと

  A=X(X+[イ])(X+[ウエ])

と表せる。

 x=(5+√17)/2のとき、X=[オ]であり、A=2^[カ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ 解説

次は「X=x(5-x)とおくと、A=X(X+[イ])(X+[ウエ])」

とあります。
つまり、与式のAに手を加えてx(5-x)というかたまりを作って、Xで表す。と考えます。

A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)

なので、順番を入れ替えればx(5-x)というかたまりができそうですね。
とりあえずやってみましょう!

A=x(5-x)(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)
 =X(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)    ←x(5-x)をXに置き換えた

やってみました。少し式がすっきりしましたね。

残りの部分もよく見てみると、x(5-x)と似た形があります。

それならば、「うまく調整してx(5-x)を作ってしまえば良いのかも?」と考えてください。


改めて、ここまでに変形した式を見てみると、

A=x(5-x)(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)
 =X(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)    ←x(5-x)をXに置き換えた

まずここまできました。
さらに少し順番を変えてみると、

 =X{(x+1)(6-x)}{(x+2)(7-x)}

こうしてみれば、かっこの中それぞれがx(5-x)にそれぞれ同じ数を足した形ですね。

 =X{(x+1)(5-x+1)}{(x+2)(5-x+2)}

中カッコの中をそれぞれ展開して、

 =X{x(5-x)+x+5-x+1}{x(5-x)+2x+2(5-x)+4}
 =X(X+6)(X+2x+10-2x+4)
 =X(X+6)(X+14)

ということで、目的の形になりました。

[イ]=6,[ウエ]=14

次の記事は④最後まで


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