2018年大学入試センター試験数学2B第1問[1] ④[キ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[キ]までを解説します。

ここまでの内容は①ラジアンについて②[ア]まで③[エオカ]までに掲載しています。

過去問をお持ちでない方は、数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトなどで問題を入手されることをオススメします。


■ 問題

第1問[1]

(1) 1ラジアンとは、[ア]のことである。[ア]に当てはまるものを、次の{0}~{3}
のうちから一つ選べ。

{0} 半径が1,面積が1の扇形の中心角の大きさ
{1} 半径がπ,面積が1の扇形の中心角の大きさ
{2} 半径が1,弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ
{3} 半径がπ,弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ

(2) 144°を弧度で表すと[イ]/[ウ]πラジアンである。また、(23/12)π
ラジアンを度で表すと[エオカ]°である。

(3) π/2≦θ≦πの範囲で

  2sin(θ+π/5)-2cos(θ+π/30)=1 ……{1}

を満たすθの値を求めよう。

 x=θ+π/5とおくと、{1}は

  2sinx-2cos(x-π/[キ])=1

と表せる。加法定理を用いると、この式は

  sinx-√[ク]・cosx=1

となる。さらに、三角関数の合成を用いると

  sin(x-π/[ケ])=1/[コ]

と変形できる。x=θ+π/5,π/2≦θ≦πだから、θ=[サシ]/[スセ]π
である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。


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■ 解説

次は(3)です。

「π/2≦θ≦πの範囲で
  2sin(θ+π/5)-2cos(θ+π/30)=1 ……{1}
を満たすθの値を求めよう」

とあります。
少し複雑な三角方程式ですね。
まずは問題にヒントがあるので、その通りにやってみましょう!

「x=θ+π/5」とおいて、{1}の式を変形します。
つまり、{1}の式の角度の部分に「θ+π/5」が出てくるようにすればいいのです。

それには、θ+π/30を、π/5で表す必要があります。
π/30をπ/5にするなんて無理!と投げ出さずに、少し考えてみましょう。

π/5をπ/30と通分するイメージで分母を30にすると、6π/30となります。
この6π/30から5π/30を引けばπ/30になるので・・・

π/30=6π/30-5π/30=π/5-π/6
と表すことができますね!
これを{1}の式に当てはめてみると、

2sin(θ+π/5)-2cos(θ+π/30)=1
2sinx-2cos(θ+π/5-5π/30)=1
    2sinx-2cos(x-5π/30)=1
      2sinx-2cos(x-π/6)=1

これで目的の形になりました。よって、[キ]=1

次の記事は③[ク]まで


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html

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