2018年大学入試センター試験数学2B第1問[1] ⑤[ク]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[ク]までを解説します。

ここまでの内容は①ラジアンについて②[ア]まで③[エオカ]まで④[キ]までに掲載しています。

過去問をお持ちでない方は、数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトなどで問題を入手されることをオススメします。


■ 問題

第1問[1]

(1) 1ラジアンとは、[ア]のことである。[ア]に当てはまるものを、次の{0}~{3}
のうちから一つ選べ。

{0} 半径が1,面積が1の扇形の中心角の大きさ
{1} 半径がπ,面積が1の扇形の中心角の大きさ
{2} 半径が1,弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ
{3} 半径がπ,弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ

(2) 144°を弧度で表すと[イ]/[ウ]πラジアンである。また、(23/12)π
ラジアンを度で表すと[エオカ]°である。

(3) π/2≦θ≦πの範囲で

  2sin(θ+π/5)-2cos(θ+π/30)=1 ……{1}

を満たすθの値を求めよう。

 x=θ+π/5とおくと、{1}は

  2sinx-2cos(x-π/[キ])=1

と表せる。加法定理を用いると、この式は

  sinx-√[ク]・cosx=1

となる。さらに、三角関数の合成を用いると

  sin(x-π/[ケ])=1/[コ]

と変形できる。x=θ+π/5,π/2≦θ≦πだから、θ=[サシ]/[スセ]π
である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。


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■ 解説

続いて「加法定理を用いると」と書いてあるので、その通りにしてみましょう!

前回の④[キ]までで、

2sinx-2cos(x-π/[キ])=1

このように変形したので、コサインの加法定理が使えますね。
コサインの加法定理の公式は、

★cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
★cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

だから、

cos(x-π/6)=cosxcos(π/6)+sinxsin(π/6)
         =cosx・(√3/2)+sinx・(1/2)

これを先ほどの2sinx-2cos(x-π/6)=1に当てはめると、

2sinx-2{cosx・(√3/2)+sinx・(1/2)}=1
2sinx-2cosx・(√3/2)-2sinx・(1/2)=1
           2sinx-√3cosx-sinx=1
                sinx-√3・cosx=1

よって、[ク]=3

次の記事は③三角関数の合成の方法と[コ]まで


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html

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