2018年大学入試センター試験数学2B第1問[1] ⑥三角関数の合成の方法と[コ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[コ]までと、三角関数の合成の方法について解説します。

ここまでの内容は①ラジアンについて②[ア]まで③[エオカ]まで④[キ]まで⑤[ク]までに掲載しています。

過去問をお持ちでない方は、数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトなどで問題を入手されることをオススメします。


■ 問題

第1問[1]

(1) 1ラジアンとは、[ア]のことである。[ア]に当てはまるものを、次の{0}~{3}
のうちから一つ選べ。

{0} 半径が1,面積が1の扇形の中心角の大きさ
{1} 半径がπ,面積が1の扇形の中心角の大きさ
{2} 半径が1,弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ
{3} 半径がπ,弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ

(2) 144°を弧度で表すと[イ]/[ウ]πラジアンである。また、(23/12)π
ラジアンを度で表すと[エオカ]°である。

(3) π/2≦θ≦πの範囲で

  2sin(θ+π/5)-2cos(θ+π/30)=1 ……{1}

を満たすθの値を求めよう。

 x=θ+π/5とおくと、{1}は

  2sinx-2cos(x-π/[キ])=1

と表せる。加法定理を用いると、この式は

  sinx-√[ク]・cosx=1

となる。さらに、三角関数の合成を用いると

  sin(x-π/[ケ])=1/[コ]

と変形できる。x=θ+π/5,π/2≦θ≦πだから、θ=[サシ]/[スセ]π
である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。


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■ 解説

そして、⑤[ク]までで求めた「sinx-√3・cosx=1」という式を、「三角関数の合成」を用いて変形します。

三角関数の合成は加法定理の応用で、サインとコサインがともに1次式の場合にサインだけにまとめることができる便利な方法です。公式としては次のようになります。

★ a・sinx+b・cosx={√(a^2+b^2)}sin(x+α)

サインの加法定理の公式を左右逆にして、分数にならないように係数を調整したものだと理解することができます。

サインの加法定理は

★ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

で、α=x,β=αと置き換えれば、

sin(x+α)=sinxcosα+cosxsinα

となります。
ここで、動径がαのときの直角三角形の横をa,縦をbとすれば、三平方の定理により、斜辺は√(a^2+b^2)なので、

cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/(√a^2+b^2)

となります。

これらの値をsin(x+α)=sinxcosα+cosxsinαに代入して両辺を√(a^2+b^2)倍すれば、三角関数の合成の公式が導ける。というわけです。

慣れれば導かなくても確実にわかると思いますが、万が一のため、計算練習のため、数学的な考え方の練習のため、導けるようにしておくと良いですよ!


では改めて、実際に合成を行ってみましょう!
合成の式では、aはcosαの√(a^2+b^2)倍なので横、bはsinαの√(a^2+b^2)倍なので縦というイメージになります。

変形したい式は、「sinx-√3・cosx=1」でしたね。

これは、a=1,b=-√3なので、「横に1,縦に-√3」の場合の直角三角形を考えます。

すると、x軸の下側の第4象限に原点Oのところが60°になる直角三角形が作れるはずです。
つまり、下側に60°なので、-60°回転した場合になります。

よって、α=-60°=-π/3です。

そして、「横に1,縦に-√3」のときの斜辺は1:2:√3で、2ですね。

sinx-√3・cosx=2sin(x-π/3)

という式ができます。変形したいもとの式は「sinx-√3・cosx=1」なので、

2sin(x-π/3)=1
 sin(x-π/3)=1/2

となります。

よって、[ケ]=3,[コ]=2

次の記事は⑦最後まで


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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