2018年大学入試センター試験数学1A第1問[2] 問題と必要条件・十分条件の解説

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第1問[2]の[問題]と[命題と集合に関する基本的な知識]について解説します。

過去問をお持ちでない方は、数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトなどで問題を入手されることをオススメします。


■ 問題

第1問

[2]

(1) 全体集合UをU={x|xは20以下の自然数}とし、次の部分集合A,B,Cを
考える。

  A={x|x∈Uかつxは20の約数}
  B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
  C={x|x∈Uかつxは偶数}
        _
集合Aの補集合をAと表し、空集合を∅と表す。

 次の[キ]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

 集合の関係

  (a) A⊂C
  (b) A∩B=空集合

の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。

  |0|1|2|3|
|(a)|正|正|誤|誤|
|(b)|正|誤|正|誤|

 次の[ク]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

 集合の関係

  (c) (A∪C)∩B={6,12,18}
     _      _
  (d) (A∩C)∪B=A∩(B∪C)

の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。

  |0|1|2|3|
|(c)|正|正|誤|誤|
|(d)|正|誤|正|誤|


(2) 実数xに関する次の条件p,q,r,sを考える。

p:|x-2|>2, q:x<0, r:x>4, s:√(x^2)>4

次の[ケ],[コ]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちからそれぞれ一つ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 qまたはrであることは、pであるための[ケ]。また、sはrであるための[コ]。

{0} 必要条件であるが、十分条件でない
{1} 十分条件であるが、必要条件でない
{2} 必要十分条件である
{3} 必要条件でも十分条件でもない


※xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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命題と集合に関して、一通り復習したい!という人にはこの書籍がオススメです!




■ 解説

2018年の第1問[2]は、命題に関する問題でした。
(2)は、必要条件・十分条件を判断する設問となっています。

まずは、これらの考え方を復習しておきましょう!

必要条件・十分条件は、「必要」「十分」という言葉が使われていますが、この日本語からは内容を類推しにくいと感じる人が多いようです。

まずは十分条件の定義をしっかりと覚えるのが得策です。

★「pならばqである」が真ならば「pはqの十分条件」である

そして、「pならばqである」の部分を逆にすると、必要条件になります。

★「qならばpである」が真ならば「pはqの必要条件」である

前半の『「qならばpである」が真ならば』の部分のpとqが入れ替わって、
『「pはqの必要条件」』の部分が、十分条件が必要条件に変わっています。

つまり、「そのままの命題が真ならば十分条件。逆の命題が真ならば必要条件」

というイメージで考えればOKです。

また、両方とも真ならば、必要十分条件となります。

次の記事は③[ケ]まで


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