2018年大学入試センター試験数学1A第1問[2] ②[ク]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第1問[2]の[ク]までを解説します。

ここまでの解説は、必要条件・十分条件に関する解説①[キ]までをご覧ください。

過去問をお持ちでない方は、数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトなどで問題を入手されることをオススメします。


■ 問題

第1問

[2]

(1) 全体集合UをU={x|xは20以下の自然数}とし、次の部分集合A,B,Cを
考える。

  A={x|x∈Uかつxは20の約数}
  B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
  C={x|x∈Uかつxは偶数}
        _
集合Aの補集合をAと表し、空集合を∅と表す。

 次の[キ]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

 集合の関係

  (a) A⊂C
  (b) A∩B=∅

の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。

  |0|1|2|3|
|(a)|正|正|誤|誤|
|(b)|正|誤|正|誤|

 次の[ク]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

 集合の関係

  (c) (A∪C)∩B={6,12,18}
     _      _
  (d) (A∩C)∪B=A∩(B∪C)

の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。

  |0|1|2|3|
|(c)|正|正|誤|誤|
|(d)|正|誤|正|誤|


(2) 実数xに関する次の条件p,q,r,sを考える。

p:|x-2|>2, q:x<0, r:x>4, s:√(x^2)>4

次の[ケ],[コ]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちからそれぞれ一つ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 qまたはrであることは、pであるための[ケ]。また、sはrであるための[コ]。

{0} 必要条件であるが、十分条件でない
{1} 十分条件であるが、必要条件でない
{2} 必要十分条件である
{3} 必要条件でも十分条件でもない


※xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

続いて、(c), (d)の条件が与えられて、その正誤の組合せを選びます。

  (c) (A∪C)∩B={6,12,18}
     _      _
  (d) (A∩C)∪B=A∩(B∪C)

まずは(c) (A∪C)∩B={6,12,18}を見てみましょう!

(A∪C)∩Bは、「A∪C」と「B」の共通範囲を表します。
AとCの間の∪は、「または」で「少なくとも片方に入っているものは全部」を意味します。

「A∪C」は、「20の約数または偶数」を表しています。この条件を満たす数は、
1,2,4,5,6,8,10,12,14,16,18,20
ですね。

「B」は3の倍数です。
3,6,9,12,15,18
ですね。

これらに共通しているのは、6,12,18なので、
(A∪C)∩B={6,12,18}
です!

ということは、まず(c)は正しいことがわかりました。


次に(d)を考えてみましょう。
     _      _
  (d) (A∩C)∪B=A∩(B∪C)

まず左辺を見てみます。
           _
Aの上に線が乗っかったAは、Aの補集合つまり、「Aでないもの」を表します。
_
A∩Cは、「20の約数でなくてかつ偶数」を表しています。この条件を満たす数は、
6,8,12,14,16,18
ですね。

「B」は3の倍数なので、3,6,9,12,15,18
     _
だから、(A∩C)∪Bは、3,6,8,9,12,14,15,16,18です。

同様に右辺を見てみると、
_
Aは3,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19
B∪Cは、2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20

これらに共通しているのは、3,6,8,9,12,14,15,16,18

ということで、両辺が一致しています。

よって、(d)は正しいことがわかります。

ということは(c),(d)の両方が正しいので、[ク]={0}ですね!

次の記事は問題と必要条件十分条件の解説


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