2018年大学入試センター試験数学1A第1問[2] ④最後まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第1問[2]の最後までを解説します。

ここまでの解説は、必要条件・十分条件に関する解説①[キ]まで②[ク]まで③[ケ]までをご覧ください。


■ 問題

第1問

[2]

(1) 全体集合UをU={x|xは20以下の自然数}とし、次の部分集合A,B,Cを
考える。

  A={x|x∈Uかつxは20の約数}
  B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
  C={x|x∈Uかつxは偶数}
        _
集合Aの補集合をAと表し、空集合を∅と表す。

 次の[キ]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

 集合の関係

  (a) A⊂C
  (b) A∩B=∅

の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。

  |0|1|2|3|
|(a)|正|正|誤|誤|
|(b)|正|誤|正|誤|

 次の[ク]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

 集合の関係

  (c) (A∪C)∩B={6,12,18}
     _      _
  (d) (A∩C)∪B=A∩(B∪C)

の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。

  |0|1|2|3|
|(c)|正|正|誤|誤|
|(d)|正|誤|正|誤|


(2) 実数xに関する次の条件p,q,r,sを考える。

p:|x-2|>2, q:x<0, r:x>4, s:√(x^2)>4

次の[ケ],[コ]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちからそれぞれ一つ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 qまたはrであることは、pであるための[ケ]。また、sはrであるための[コ]。

{0} 必要条件であるが、十分条件でない
{1} 十分条件であるが、必要条件でない
{2} 必要十分条件である
{3} 必要条件でも十分条件でもない


※xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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命題と集合に関して、一通り復習したい!という人にはこの書籍がオススメです!



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも参考にしてみるとよいと思います。


■ 解説

そして最後は「sはrであるための[コ]」を聞いています。

r:x>4, s:√(x^2)>4

なので、まずはsの式を解いてみます。
普通は不等式は両辺を2乗してはいけないのですが、この場合はルートなので、左辺は正の数に限定されます。そういう場合は両辺を2乗することができます。

    √(x^2)>4
      x^2>16 ←左辺は正の数なので2乗しても大小関係は変わらない
   x^2-16>0
(x+4)(x-4)>0
∴x<-4,x>4

sが成り立ってもrが成り立たない場合があるので、s⇒rは偽
rが成り立てば必ずsは成り立つので、r⇒sは真

つまり「そのままの命題」が偽、「逆の命題」が真だから、「必要条件であるが、十分条件でない」

[コ]={0}とわかります。

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