2018年大学入試センター試験数学2B第1問[2] ①指数・対数の計算法則

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第1問[2]に関して、指数・対数の計算法則について解説します。


■ 問題

第1問

[2] cを正の定数として、不等式

  x^(log[3]x)≧(x/c)^3  ……{2}

を考える。

 3を底とする{2}の両辺の対数をとり、t=log[3]xとおくと

  t^[ソ]-[タ]t+[タ]log[3]c≧0  ……{3}

となる。ただし、対数log[a]bに対し、aを底といい、bを真数という。

 c=(9の3乗根)のとき、{2}を満たすxの値の範囲を求めよう。{3}により

  t≦[チ],t≧[ツ]

である。さらに、真数の条件を考えて

  [テ]<x≦[ト],x≧[ナ]

となる。

 次に、{2}がx>[テ]の範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。

 xがx>[テ]の範囲を動くとき、tのとり得る値の範囲は[ニ]である。
[ニ]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0} 正の実数全体  {1} 負の実数全体
{2} 実数全体  {3} 1以外の実数全体

この範囲のtに対して、{3}がつねに成り立つための必要十分条件は、

log[3]c≧[ヌ]/[ネ]である。すなわち、c≧([ハヒ]の[ノ]乗根)である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。


■ 赤本と公式サイト

数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

2018年第1問[2]は、指数・対数不等式の問題が配置されました。
まずは基本的な公式等を一通り解説してみます。

まず最初は、指数のところに分数が入っている場合。

例えば、2^(1/2)を指数を使わず表すとどうなるでしょうか?

2^(1/2)=2×1/2=1でしょうか?
違います。1/2乗であって、×1/2ではありません。

2^(1/2)=1/2でしょうか?
違います。1/2乗は逆数ではありません。

2^(1/2)を2乗するとどうなるでしょうか?
1/2乗を2乗するのだから・・・2の1乗になってしまいます。

つまり、2^(1/2)は、「2乗したら2になる数」です。
これは、√2ですね。

1/3乗なら3乗根、1/4乗なら4乗根というように、分数の指数は、
累乗根を表します。


続いて、指数と対数の関係です。

対数は「aをcにするには何乗すればいいか」を表していて、指数とは次のような関係があります。

★ a^b=cならばlog[a]c=b

aを底、cを真数、bを指数(または対数の値)と呼びます。

「aをb乗したらcになる」ならば「aをcにするならb乗する」と言っても変わらないですね。指数と対数はこのような言い換えの関係になっていると言えます。

2^3=8を対数で表せば、log[2]8=3というわけです。

これを少し応用すると、次のようなことも言えます。

★ log[a]a=1       ←aをaにするには1乗
★ log[a]1=0       ←aを1にするには0乗


対数の計算方法も一通り確認しておきましょう!

★ log[a]b^c=c・log[a]b

「真数の指数は対数の係数」です。

★ log[a]b+log[a]c=log[a]bc

「対数の足し算は真数のかけ算」です。

★ log[a]b-log[a]c=log[a]b/c

「対数の引き算は真数の割り算」です。

★ log[a]b=log[c]b/log[c]a

いわゆる「底の変換公式」で、「分子が真数、分母が底」と考えます。

もし、これら計算法則で怪しいものがあったら、教科書などで基本問題をしっかり練習することをオススメします!

また、指数と対数は相互に変換しながら計算することも多いですよ!


次の記事は②[タ]まで


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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