2018年大学入試センター試験数学2B第1問[2] ③[ツ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の、[ツ]までを解説します。

ここまでの解説は、①指数・対数の計算法則②[タ]までをご覧ください。


■ 問題

第1問

[2] cを正の定数として、不等式

  x^(log[3]x)≧(x/c)^3  ……{2}

を考える。

 3を底とする{2}の両辺の対数をとり、t=log[3]xとおくと

  t^[ソ]-[タ]t+[タ]log[3]c≧0  ……{3}

となる。ただし、対数log[a]bに対し、aを底といい、bを真数という。

 c=(9の3乗根)のとき、{2}を満たすxの値の範囲を求めよう。{3}により

  t≦[チ],t≧[ツ]

である。さらに、真数の条件を考えて

  [テ]<x≦[ト],x≧[ナ]

となる。

 次に、{2}がx>[テ]の範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。

 xがx>[テ]の範囲を動くとき、tのとり得る値の範囲は[ニ]である。
[ニ]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0} 正の実数全体  {1} 負の実数全体
{2} 実数全体  {3} 1以外の実数全体

この範囲のtに対して、{3}がつねに成り立つための必要十分条件は、

log[3]c≧[ヌ]/[ネ]である。すなわち、c≧([ハヒ]の[ノ]乗根)である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。


■ 赤本と公式サイト

数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

次の問題では、cの条件が与えられています。

「c=(9の3乗根)」のとき、{2}を満たすxの値の範囲を求めていきます。

②[タ]までで求めた{3}の式「t^2-3t+3log[3]c≧0」にc=(9の3乗根)を代入して、

t^2-3t+3log[3](9の3乗根)≧0

あとはコレを計算すればtの範囲がわかりそうです。やってみましょう!

  t^2-3t+3log[3]9^(1/3)≧0
  t^2-3t+3log[3]3^(2/3)≧0   ←9=3^2
t^2-3t+3・(2/3)log[3]3≧0   ←真数の指数は対数の係数
           t^2-3t+2≧0   ←log[3]3=1
          (t-1)(t-2)≧0

よって、t≦1,t≧2

つまり、[チ]=1,[ツ]=2


次の記事は④[ナ]まで


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html

vol.353の記事を分割してお送りしています。
1回にまとめてご覧になりたい方は、該当する回を含む月のバックナンバーをご購入ください。


-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  かかる費用は授業料と教材費のみ!生徒募集中です!

プロ家庭教師の江間です。     AE個別学習室
http://www.a-ema.com/k/      http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------

この記事へのコメント