2018年大学入試センター試験数学2B第1問[2] ④[ナ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の、[ナ]までを解説します。

ここまでの解説は、①指数・対数の計算法則②[タ]まで③[ツ]までをご覧ください。


■ 問題

第1問

[2] cを正の定数として、不等式

  x^(log[3]x)≧(x/c)^3  ……{2}

を考える。

 3を底とする{2}の両辺の対数をとり、t=log[3]xとおくと

  t^[ソ]-[タ]t+[タ]log[3]c≧0  ……{3}

となる。ただし、対数log[a]bに対し、aを底といい、bを真数という。

 c=(9の3乗根)のとき、{2}を満たすxの値の範囲を求めよう。{3}により

  t≦[チ],t≧[ツ]

である。さらに、真数の条件を考えて

  [テ]<x≦[ト],x≧[ナ]

となる。

 次に、{2}がx>[テ]の範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。

 xがx>[テ]の範囲を動くとき、tのとり得る値の範囲は[ニ]である。
[ニ]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0} 正の実数全体  {1} 負の実数全体
{2} 実数全体  {3} 1以外の実数全体

この範囲のtに対して、{3}がつねに成り立つための必要十分条件は、

log[3]c≧[ヌ]/[ネ]である。すなわち、c≧([ハヒ]の[ノ]乗根)である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。


■ 赤本と公式サイト

数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

そして「真数の条件を考えて」xの範囲を求めます。

t=log[3]xなので、真数はxです。

底が3で正の数だから真数は必ず正の数になります。
整数を何乗しても正の数にしかならないというわけです。

つまり、「真数条件よりx>0」ですね。

t≦1より、t=log[3]x≦1ですね。
3の1乗=3を対数で表すと、1=log[3]3です。

つまり、log[3]x≦log[3]3という式ができます。

この式の真数同士を比較すると、x≦3がわかります。

よって、真数条件x>0との共通部分は0<x≦3となります。

さらに、t≧2より、log[3]x≧2を解くと、x≧9

つまり、[テ]=0,[ト]=3,[ナ]=9


次の記事は⑤[ネ]まで


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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