2018年大学入試センター試験数学2B第1問[2] ⑤[ネ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の、[ネ]までを解説します。

ここまでの解説は、①指数・対数の計算法則②[タ]まで③[ツ]まで④[ナ]までをご覧ください。


■ 問題

第1問

[2] cを正の定数として、不等式

  x^(log[3]x)≧(x/c)^3  ……{2}

を考える。

 3を底とする{2}の両辺の対数をとり、t=log[3]xとおくと

  t^[ソ]-[タ]t+[タ]log[3]c≧0  ……{3}

となる。ただし、対数log[a]bに対し、aを底といい、bを真数という。

 c=(9の3乗根)のとき、{2}を満たすxの値の範囲を求めよう。{3}により

  t≦[チ],t≧[ツ]

である。さらに、真数の条件を考えて

  [テ]<x≦[ト],x≧[ナ]

となる。

 次に、{2}がx>[テ]の範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。

 xがx>[テ]の範囲を動くとき、tのとり得る値の範囲は[ニ]である。
[ニ]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0} 正の実数全体  {1} 負の実数全体
{2} 実数全体  {3} 1以外の実数全体

この範囲のtに対して、{3}がつねに成り立つための必要十分条件は、

log[3]c≧[ヌ]/[ネ]である。すなわち、c≧([ハヒ]の[ノ]乗根)である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。


■ 赤本と公式サイト

数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

次に「{2}がx>[テ]の範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう」

とあります。[テ]=0なので、x>0の範囲で{2}が成り立つ場合を考えます。

ここで闇雲に進めようとしても訳わからなくなると思います。そんなときは、改めて設問の内容を確認するとよいです。

{2}は「x^(log[3]x)≧(x/c)^3」で、これを変形して、

「t^2-3t+3log[3]c≧0」が得られましたね。

そして「t=log[3]x」です。

問題文に書いてあることと、ここまでに求めたことを整理しただけですが、次の設問がどうなるかわかりやすくなった気がしませんか?

次は「tのとり得る値の範囲」を聞いています。
t=log[3]xで、x>0なので、tの値は{2}実数全体となります。
xが3以上の数ならば1より大きい数になりますが、たとえば

x=1のときはt=log[3]1=0
x=1/3ならばt=log[3](1/3)=-1
x=1/9ならt=log[3](1/9)=-2

などとなるので、x=1で問題ないのはもちろん、tがマイナスになるときもあります。だから、[ニ]={2}実数全体です。

「x>0だからt>0」などと安易に考えずに、しっかり値を考えるのがオススメです。


そして、いよいよ最後の設問です。

「この範囲のt」つまり「tは実数全体」のとき、「{3}がつねに成り立つ」つまり「t^2-3t+3log[3]c≧0がつねに成り立つ」ための必要充分条件を聞いています。

「必要充分条件」というと難しく感じるかもしれませんが、tが実数全体なので、つまりは解ければいい。というわけです。

解けるためには、「左辺がゼロ以上」「左辺の最小値がゼロ」と考えます。

左辺は2次式なので、最小値を考えるなら平方完成ですね!
やってみましょう!

 t^2-3t+3log[3]c
=(t^2-3t+9/4-9/4)+3log[3]c
=(t-3/2)^2-9/4+3log[3]c

ということは、最小値は-9/4+3log[3]cです。
これがゼロ以上ならいいので、

-9/4+3log[3]c≧0
     3log[3]c≧9/4   ←移項した
      log[3]c≧3/4   ←両辺を3で割った

よって、[ヌ]=3,[ネ]=4


次の記事は⑥最後まで


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