2018年大学入試センター試験数学2B第1問[2] ⑥最後まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の、最後までを解説します。

ここまでの解説は、①指数・対数の計算法則②[タ]まで③[ツ]まで④[ナ]まで⑤[ネ]までをご覧ください。


■ 問題

第1問

[2] cを正の定数として、不等式

  x^(log[3]x)≧(x/c)^3  ……{2}

を考える。

 3を底とする{2}の両辺の対数をとり、t=log[3]xとおくと

  t^[ソ]-[タ]t+[タ]log[3]c≧0  ……{3}

となる。ただし、対数log[a]bに対し、aを底といい、bを真数という。

 c=(9の3乗根)のとき、{2}を満たすxの値の範囲を求めよう。{3}により

  t≦[チ],t≧[ツ]

である。さらに、真数の条件を考えて

  [テ]<x≦[ト],x≧[ナ]

となる。

 次に、{2}がx>[テ]の範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。

 xがx>[テ]の範囲を動くとき、tのとり得る値の範囲は[ニ]である。
[ニ]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0} 正の実数全体  {1} 負の実数全体
{2} 実数全体  {3} 1以外の実数全体

この範囲のtに対して、{3}がつねに成り立つための必要十分条件は、

log[3]c≧[ヌ]/[ネ]である。すなわち、c≧([ハヒ]の[ノ]乗根)である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。


■ 赤本と公式サイト

数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

そして、log[3]c≧3/4を解けば、cの値が出るというわけです。

対数の計算法則を駆使してやってみましょう!

log[3]c≧(3/4)log[3]3   ←log[3]3=1
log[3]c≧log[3]{3^(3/4)}   ←対数の係数は真数の指数

よって、c≧3^(3/4)         ←真数同士を比較した
    c≧27^(1/4)

1/4乗は4乗根なので、c≧(27の4乗根)とわかります。

よって、[ノ]=4,[ハヒ]=27


ちなみに、このメルマガでは「27の4乗根」と書きましたが、実際のセンター試験では、根号を使って書いてあります。
txtでの記述ということで、ご了承ください。


次の記事は⑦解答一覧と公式・解き方


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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