2018年大学入試センター試験数学1A第1問[3] ①平方完成の方法と[シ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第1問[3]の[シ]までと[平方完成の方法]を解説します。


■ 問題

第1問

[3] aを正の実数とし

  f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21

とする。2次関数y=f(x)のグラフの頂点のx座標をpとおくと

  p=[サ]+[シ]/a

である。

 0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値がf(4)となるようなaの値の
範囲は

  0<a≦[ス]

である。
 また、0≦x≦4における関数のy=f(x)の最小値がf(p)となるような
aの値の範囲は

  [セ]≦a

である。
 したがって、0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値が1であるのは

  a=[ソ]/[タ]またはa=([チ]+√[ツテ])/[ト]

のときである。


※xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

2018年の第1問[3]は、2次関数の問題でした。
まずは条件を確認しましょう!

「aを正の実数としf(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21とする」

このような2次式があり、

「2次関数y=f(x)」について考えます。

最初の設問は「グラフの頂点のx座標をpとおく」ときのpの値を聞いています。

頂点を求めるなら、アレですね!

そうです!?「平方完成」です。


では実際に平方完成をやってみましょう!
自分の生徒さんには、基本的に「1行飛ばして2乗をつくる」という方法をオススメしています。

y=ax^2-2(a+3)x-3a+21

この式を平方完成します。
まずは2乗の係数でくくります。

y=a[x^2-2{(a+3)/a}x]-3a+21

ここから「1行飛ばして2乗をつくる」をやります。

y=a[x^2-2{(a+3)/a}x]-3a+21
 =
 =a{x-(a+3)/a}^2   ←xの係数の半分

飛ばした行に2乗の展開をします。

y=a[x^2-2{(a+3)/a}x]-3a+21
 =a[x^2-2{(a+3)/a}x+(a+3)^2/a^2] ←2乗の展開をしただけ
 =a{x-(a+3)/a}^2

1行目と値が同じになるように、相殺する項をカッコの中に入れ、残りの項をそのまま下ろします。

y=a[x^2-2{(a+3)/a}x]-3a+21
 =a[x^2-2{(a+3)/a}x+(a+3)^2/a^2-(a+3)^2/a^2]-3a+21
 =a{x-(a+3)/a}^2

カッコの2乗を作るために使われなかった項を3行目に書きます。
大カッコの中から外に出てきた項には、aを掛けることに注意!

y=a[x^2-2{(a+3)/a}x]-3a+21
 =a[x^2-2{(a+3)/a}x+(a+3)^2/a^2-(a+3)^2/a^2]-3a+21
 =a{x-(a+3)/a}^2-(a+3)^2/a-3a+21

あとは定数部分をまとめるだけです!

 =a{x-(a+3)/a}^2-(a^2+6a+9)/a-3a+21
 =a{x-(a+3)/a}^2-a-6-9/a-3a+21
 =a{x-(a+3)/a}^2-4a+15-9/a

よって、頂点の座標は((a+3)/a,-4a+15-9/a)

pはx座標なので、p=(a+3)/a=a/a+3/a=1+3/a

よって、[サ]=1,[シ]=3


次の記事は①[シ]までと平方完成の方法


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