2017年大学入試センター試験数学1A第1問[3] ①[テト]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学1A第1問[3]の[テト]までを解説します。

■ 問題

2017年センター試験数1Aより

第1問

[3] aを定数とし、

g(x)=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16

とおく。2次関数y=g(x)のグラフの頂点は

  ([セ]a^2+[ソ]a,[タ]a^4+[チツ]a^2+[テト])

である。

 aが実数全体を動くとき、頂点のx座標の最小値は-[ナニ]/[ヌネ]である。

次にt=a^2とおくと、頂点のy座標は

  [タ]t^2+[チツ]t+[テト]

と表せる。
したがって、aが実数全体を動くとき、頂点のy座標の最小値は[ノハ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

選択肢を選びながら読み進めるだけで、2次関数の様々な解き方・考え方を習得できる書籍です。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

2次関数g(x)の頂点を聞いています。
頂点と言えば平方完成!ですね。

自分の生徒には、一貫して「1行飛ばしてかっこの2乗を作る」という方法を推奨しています。今回の式はやや複雑ですが、やってみましょう!

与式はコレです。

g(x)=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16

4乗などがありますが、基本通りにやれば必ずできます。


まず、1行とばしてかっこの2乗を作る
y=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16
 =
 ={x-(3a^2+5a)}^2    ←-2(3a^2+5a)の半分をかっこの中に

次に、2乗の展開をした式を、とばしたところに書く
y=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16
 =x^2-2(3a^2+5a)x+(3a^2+5a)^2  ←前半が1行目と同じ
 ={x-(3a^2+5a)}^2

2行目で新たに現れてしまった項を相殺する
y=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16
 =x^2-2(3a^2+5a)x+(3a^2+5a)^2-(3a^2+5a)^2
 ={x-(3a^2+5a)}^2

1行目の定数部分を2行目にそのまま書く
y=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16
 =x^2-2(3a^2+5a)x+(3a^2+5a)^2-(3a^2+5a)^2+18a^4+30a^3+49a^2+16
 ={x-(3a^2+5a)}^2

かっこの2乗を作るために使われない定数項をそのまま3行目に書く
y=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16
 =x^2-2(3a^2+5a)x+(3a^2+5a)^2-(3a^2+5a)^2+18a^4+30a^3+49a^2+16
 ={x-(3a^2+5a)}^2-(3a^2+5a)^2+18a^4+30a^3+49a^2+16

あとは、定数項が計算できればする
y=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16
 =x^2-2(3a^2+5a)x+(3a^2+5a)^2-(3a^2+5a)^2+18a^4+30a^3+49a^2+16
 ={x-(3a^2+5a)}^2-(3a^2+5a)^2+18a^4+30a^3+49a^2+16
 ={x-(3a^2+5a)}^2-(9a^4+30a^3+25a^2)+18a^4+30a^3+49a^2+16
 ={x-(3a^2+5a)}^2-9a^4-30a^3-25a^2+18a^4+30a^3+49a^2+16
 ={x-(3a^2+5a)}^2+9a^4+24a^2+16

計算が大変でしたが、これで解答の形式と同じになりました。完成ですね!
頂点が(p,q)のとき、y=a(x-p)^2+qなので、この2次関数の頂点は、

(3a^2+5a,9a^4+24a^2+16)となります。

よって、[セ]=3,[ソ]=5,[タ]=9,[チツ]=24,[テト]=16


次の記事は

この記事へのコメント