2017年大学入試センター試験数学1A第1問[3] ②[ヌネ]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学1A第1問[3]の[ヌネ]までを解説します。

ここまでの記事→①[テト]まで


■ 問題

2017年センター試験数1Aより

第1問

[3] aを定数とし、

g(x)=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16

とおく。2次関数y=g(x)のグラフの頂点は

  ([セ]a^2+[ソ]a,[タ]a^4+[チツ]a^2+[テト])

である。

 aが実数全体を動くとき、頂点のx座標の最小値は-[ナニ]/[ヌネ]である。

次にt=a^2とおくと、頂点のy座標は

  [タ]t^2+[チツ]t+[テト]

と表せる。
したがって、aが実数全体を動くとき、頂点のy座標の最小値は[ノハ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

次は「頂点のx座標の最小値」を聞いています。

頂点の座標は先ほど求めた(3a^2+5a,9a^4+24a^2+16)ですね。
このx座標3a^2+5aの最小値を答えれば良いですね。

3a^2+5aはaについての2次式です。
2次式の最小値を求めるにはどうしたら良いでしょうか?

2次式の最小値は、つまりは頂点なので、やはり平方完成ですね!
これまた「1行飛ばして2乗」でやってみましょう!

この場合は2乗の項に係数がついているので、その係数でくくると、
 3a^2+5a
=3{a^2+(5/3)a}

あとは、中括弧の中を①[テト]までと同様にやってみましょう!

1行とばしてかっこの2乗を作る
 3a^2+5a
=3{a^2+(5/3)a}

=3{a+(5/6)}^2    ←5/3の半分をかっこの中に

次に、2乗の展開をした式を、とばしたところに書く
 3a^2+5a
=3{a^2+(5/3)a}
=3{a^2+(5/3)a+(5/6)^2} ←最初の2つの項が同じことを確認
=3{a+(5/6)}^2

2行目で新たに現れてしまった項を相殺する
 3a^2+5a
=3{a^2+(5/3)a}
=3{a^2+(5/3)a+(5/6)^2-(5/6)^2}
=3{a+(5/6)}^2

かっこの2乗を作るために使われない定数項を、3行目に書く
 3a^2+5a
=3{a^2+(5/3)a}
=3{a^2+(5/3)a+(5/6)^2-(5/6)^2}
=3{a+(5/6)}^2-3(5/6)^2  ←中括弧の外に3があるので3を掛けた

あとは、定数項が計算できればする
 3a^2+5a
=3{a^2+(5/3)a}
=3{a^2+(5/3)a+(5/6)^2-(5/6)^2}
=3{a+(5/6)}^2-3(5/6)^2
=3{a+(5/6)}^2-3・25/36
=3{a+(5/6)}^2-25/12

この式の最小値は、かっこの2乗の部分がゼロの場合の式の値なので、

a=-5/6のとき、最小値-25/12となります。

よって、[ナニ]=25,[ヌネ]=12


次の記事は③最後まで


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