2017年大学入試センター試験数学1A第1問[3] ③最後まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学1A第1問[3]の最後までを解説します。

ここまでの記事→①[テト]まで②[ヌネ]まで


■ 問題

2017年センター試験数1Aより

第1問

[3] aを定数とし、

g(x)=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16

とおく。2次関数y=g(x)のグラフの頂点は

  ([セ]a^2+[ソ]a,[タ]a^4+[チツ]a^2+[テト])

である。

 aが実数全体を動くとき、頂点のx座標の最小値は-[ナニ]/[ヌネ]である。

次にt=a^2とおくと、頂点のy座標は

  [タ]t^2+[チツ]t+[テト]

と表せる。
したがって、aが実数全体を動くとき、頂点のy座標の最小値は[ノハ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

次は「t=a^2」と置いています。

頂点のy座標は9a^4+24a^2+16なので、置き換えれば、

9t^2+24t+16と表すことができます。

そして「頂点のy座標の最小値」を聞いています。
頂点のy座標はtの2次式で表されるので、やはり平方完成ですね。

「またかよ」というかんじで、そろそろ面倒に感じると思いますが、仕方ないのでやるしかありません。

3回目なので、ここでは「1行飛ばして2乗を作る」手順は省略します。

 9t^2+24t+16
=9{t^2+(8/3)t}+16
=9{t^2+(8/3)t+16/9-16/9}+16
=9{(t+4/3)^2-16/9}+16
=9(t+4/3)^2-16+16
=9(t+4/3)^2

t=-4/3のとき最小値0です。

・・・がしかし、解答の形式と合いません。
これは何がおかしいでしょうか?


tはどんな設定だったか思い出してください。

「t=a^2」でしたね。
aは実数なので、2乗すると必ずプラスになります。

つまり、t≧0です。

先ほどの2次式の頂点はt=-4/3ですが、tの定義域がt≧0なので、頂点は範囲外というわけです。

今考えているtの2次関数は下に凸の放物線なので、t≧0で頂点に最も近いところが最小値となります。

つまり、t=0のときが最小です。

t=0のとき、9t^2+24t+16=16なので、求める頂点のy座標の最小値は16となります。

よって、[ノハ]=16


次の記事は④解答一覧と公式・性質


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