2017年大学入試センター試験数学1A第2問[1] ①[ア]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学1A第2問[1]の[ア]までを解説します。


■ 問題

2017年センター試験数1Aより

第2問

[1] △ABCにおいて、AB=√3-1,BC=√3+1,∠ABC=60°とする。

(1) AC=√[ア]であるから、△ABCの外接円の半径は√[イ]であり、

  sin∠BAC=(√[ウ]+√[エ])/[オ]

である。ただし、[ウ],[エ]の解答の順序は問わない。

(2) 辺AC上に点Dを、△ABDの面積が√2/6になるようにとるとき

  AB・AD=([カ]√[キ]-[ク])/[ケ]

であるから、AD=[コ]/[サ]である。


※分数は(分子)/(分母)、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

まずは今回の問題設定を確認してみましょう。

「△ABCにおいて、AB=√3-1,BC=√3+1,∠ABC=60°とする」とあります。

まずは適当に三角形を描いて、3つの頂点をA,B,Cとして、ABのところに√3-1、BCのところに√3+1、頂点Bの角に60°と書き込んでおきましょう。

ここで一応確認しておきます。

AB=√3-1,BC=√3+1なので、ABはBCよりもかなり短いはずです。
そして∠ABC=60°です。

なるべく実際の設定に近い図にした方がわかりやすいので、もし、辺の長さや角の大きさがかけ離れていた場合は、描き直すことをオススメします。


では、最初の問いです。

「AC=√[ア]であるから」とあります。

つまり、ACの長さを聞いています。

△ABCの情報を再確認してみると、AB=√3-1,BC=√3+1,∠ABC=60°がわかっています。

これらはつまり・・・「2辺とはさむ角」ですね。
そして残りの1辺を求めたい。という状況です。

そんなときは、余弦定理です!

★ b^2=a^2+c^2-2ac・cosB

余弦定理の式には、a,b,cと3つの角のうちのどれか一つ、合計4つのパラメータが入っています。
これら4つのうち3つがわかれば残り一つを出すことができるというわけです。

これにa=BC=√3+1,c=AB=√3-1,B=60°を代入して、

b^2=(√3+1)^2+(√3-1)^2-2(√3+1)(√3-1)cos60°
  =3+2√3+1+3-2√3+1-2(3-1)・(1/2)
  =3+1+3+1-2
  =6
∴b=√6

よって、[ア]=6


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