2017年大学入試センター試験数学1A第5問 ①[エ]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学1A第5問の[エ]までを解説します。


■ 問題

2017年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=3,BC=8,AC=7とする。

(1) 辺AC上に点DをAD=3となるようにとり、△ABDの外接円と直線BCの交点でBと異なるものをEとする。このとき、BC・CE=[アイ]であるから、CE=[ウ]/[エ]である。

 直線ABと直線DEの交点をFとするとき、BF/AF=[オカ]/[キ]であるから、AF=[クケ]/[コ]である。

(2) ∠ABC=[サシ]°である。△ABCの内接円の半径は[ス]√[セ]/[ソ]であり、△ABCの内心をIとするとBI=[タ]√[チ]/[ツ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


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■ 解説

では、今回の問題です。
まずは設定を確認していきましょう!
ぜひ図を描きながら読んでみてくださいね。

△ABCがあり、その辺の長さはAB=3,BC=8,AC=7だそうです。

この辺AC上に点Dをとり、AD=3とします。
BとDを結べば、△ABCは、△ABDと△BCDに分けられますね。

この△ABDの外接円を描いてみると、BCと交わるので、その交点をEとしています。

まずはここまでいいでしょうか?

少し慣れている人なら、「こことここが同じだから・・・」とか
「これがそれと交わっているから・・・」とか気づくことがありますね?


最初の設問は、BC・CEの値です。

BCは△ABDの外接円と交わっています。
ACも△ABDの外接円と交わっています。

一つの円に2本の直線が交わっています。

そんなときは・・・

方べきの定理が使えますね!

2本の直線が円との交点で分けられたとき、線分の長さの積が等しくなる。という定理です。これは中学数学の相似な図形の応用です。

「相似」とみるよりも「方べきの定理」と見た方が立式や計算が簡単なので、現在の高校数学では主に方べきの定理を使うことになっています。

今回の図の場合は、BC・CE=AC・CDとなります。

AC=7,CD=7-3=4なので、

BC・CE=7×4=28

よって、[アイ]=28

さらに、BC=8を代入すると、

8CE=28
 CE=28/8=7/2

よって、[ウ]=7,[エ]=2


次の記事→②[キ]まで


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