2017年大学入試センター試験数学1A第5問 ②[キ]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学1A第5問の[キ]までを解説します。

2017年1A第5問ここまでの記事→①[エ]まで


■ 問題

2017年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=3,BC=8,AC=7とする。

(1) 辺AC上に点DをAD=3となるようにとり、△ABDの外接円と直線BCの交点でBと異なるものをEとする。このとき、BC・CE=[アイ]であるから、CE=[ウ]/[エ]である。

 直線ABと直線DEの交点をFとするとき、BF/AF=[オカ]/[キ]であるから、AF=[クケ]/[コ]である。

(2) ∠ABC=[サシ]°である。△ABCの内接円の半径は[ス]√[セ]/[ソ]であり、△ABCの内心をIとするとBI=[タ]√[チ]/[ツ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


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■ 解説

次は、直線ABを延長して、直線DEを延長して、それらの交点をFとします。

実際に描いてみると・・・

△BCFの頂点Cから対辺BFに、頂点Fから対辺BCにそれぞれ線分を引いた形になったと思います。

このように、頂点と対辺を結んだ形のときは・・・

メネラウスの定理が使えますね!

メネラウスの定理は、実際の試験の時に自分で導くのはきびしいので、しっかり練習して覚えておいた方がよいです。

点の取り方によって文字はいろいろ変わりますが、ある頂点から出発して、円の内部を通って一周してくるというイメージです。
この場合例えば、

(AF/FB)・(BE/EC)・(CD/DA)=1

とすることができます。
これにわかっている値、BE=8-7/2=9/2,EC=7/2,CD=4,DA=3を代入して、

(AF/FB)・{(9/2)/(7/2)}・(4/3)=1
      (AF/FB)・(9/7)・(4/3)=1
          (AF/FB)・(12/7)=1
                 AF/FB=7/12

∴BF/AF=12/7

よって、[オカ]=12,[キ]=7


次の記事→③[コ]まで


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