2017年大学入試センター試験数学1A第5問 ⑤三角形の面積と内接円の半径の解説

この記事では、2017年大学入試センター試験数学1A第5問の(2)に関して、三角形の面積と内接円の半径の関係について解説します。

2017年1A第5問ここまでの記事→①[エ]まで②[キ]まで③[コ]まで④[サシ]まで


■ 問題

2017年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=3,BC=8,AC=7とする。

(1) 辺AC上に点DをAD=3となるようにとり、△ABDの外接円と直線BCの交点でBと異なるものをEとする。このとき、BC・CE=[アイ]であるから、CE=[ウ]/[エ]である。

 直線ABと直線DEの交点をFとするとき、BF/AF=[オカ]/[キ]であるから、AF=[クケ]/[コ]である。

(2) ∠ABC=[サシ]°である。△ABCの内接円の半径は[ス]√[セ]/[ソ]であり、△ABCの内心をIとするとBI=[タ]√[チ]/[ツ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


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■ 解説

そして次は内接円の半径です。

△ABCの内接円は、△ABCの3辺と接する円です。
3本の辺が接線となるので、接線の性質が成り立ちます。

特に、内接円の半径について考えるときは、

★ 接点に引いた半径は接線と垂直に交わる

という性質を使うことが多いです。

内接円の中心と三角形の各頂点を結んで三角形を3つに分けると、それぞれの分けた三角形の高さは、内接円の中心から接点に引いた半径となります。

このときの分けた三角形の底辺は、AB,BC,CAですね。

つまり、内接円の半径をrとすれば、

△ABC=AB×r×1/2+BC×r×1/2+CA×r×1/2
    =(r/2)(AB+BC+CA)

となります。

3辺の長さはわかっているので、△ABCの面積さえわかれば、内接円の半径rもわかる。というわけですね!


次の記事→⑥[ソ]まで


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