2017年大学入試センター試験数学１Ａ第５問 ⑥[ソ]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学１Ａ第５問の[ソ]までを解説します。

2017年１Ａ第５問ここまでの記事→①[エ]まで、②[キ]まで、③[コ]まで、④[サシ]まで、⑤内接円の性質


■　問題

2017年センター試験数１Ａより

第５問

　△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝３，ＢＣ＝８，ＡＣ＝７とする。

(1) 辺ＡＣ上に点ＤをＡＤ＝３となるようにとり、△ＡＢＤの外接円と直線ＢＣの交点でＢと異なるものをＥとする。このとき、ＢＣ・ＣＥ＝[アイ]であるから、ＣＥ＝[ウ]／[エ]である。

　直線ＡＢと直線ＤＥの交点をＦとするとき、ＢＦ／ＡＦ＝[オカ]／[キ]であるから、ＡＦ＝[クケ]／[コ]である。

(2) ∠ＡＢＣ＝[サシ]°である。△ＡＢＣの内接円の半径は[ス]√[セ]／[ソ]であり、△ＡＢＣの内心をＩとするとＢＩ＝[タ]√[チ]／[ツ]である。


※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。


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■　解説

△ＡＢＣの面積はまだ出していなかったので、求めてみましょう！
三角形の面積の公式は、三角比の単元で習ったように、

★　Ｓ＝(１／２)ｃａ・ｓｉｎＢ

ですね。
この問題では∠Ｂ＝６０がわかっているので、∠Ｂとはさむ２辺の形で式を書いてみました。

これに、ｃ＝ＡＢ＝３，ａ＝ＢＣ＝８，Ｂ＝６０°を代入して、

△ＡＢＣ＝(１／２)×３×８×ｓｉｎ６０°
　　　　＝１２×√３／２
　　　　＝６√３

△ＡＢＣ＝(ｒ／２)(ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ)なので、
６√３＝(ｒ／２)(３＋８＋７)
６√３＝(ｒ／２)×１８
６√３＝９ｒ
　　ｒ＝(６√３)／９　　　　　　←両辺を入れ替えて９で割った
　　ｒ＝(２√３)／３

よって、[ス]＝２，[セ]＝３，[ソ]＝３


次の記事→⑦接線の性質


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