2017年大学入試センター試験数学1A第5問 ⑦接線の性質を使って式を作る

この記事では、2017年大学入試センター試験数学1A第5問の(2)に関して、接線の性質を使って式を作ることに関して解説します。

2017年1A第5問ここまでの記事→①[エ]まで②[キ]まで③[コ]まで④[サシ]まで⑤内接円の性質⑥[ソ]まで


■ 問題

2017年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=3,BC=8,AC=7とする。

(1) 辺AC上に点DをAD=3となるようにとり、△ABDの外接円と直線BCの交点でBと異なるものをEとする。このとき、BC・CE=[アイ]であるから、CE=[ウ]/[エ]である。

 直線ABと直線DEの交点をFとするとき、BF/AF=[オカ]/[キ]であるから、AF=[クケ]/[コ]である。

(2) ∠ABC=[サシ]°である。△ABCの内接円の半径は[ス]√[セ]/[ソ]であり、△ABCの内心をIとするとBI=[タ]√[チ]/[ツ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


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■ 解説

そして最後は、△ABCの内心をIとして、BIを求めます。

繰り返しになりますが、△ABCの3辺はともに円Iの接線なので、接線の性質が成り立ちます。

⑥[ソ]まででは、「接線と接点に引いた半径は垂直に交わる」という性質を使いました。円Iの中心と△ABCの頂点を結ぶと、半径が高さになる三角形が3つできましたね。

高さの線をそれぞれ引いてみると、3つの三角形がそれぞれ2つの直角三角形に分けられています。

直角三角形ならば、三平方の定理が使える!のですね!
では早速、BIを含む三角形を考えて・・・

BCと円Iとの接点をSとすれば、△BSIが使えそうです。

・・・が、しかし!
△BSIはIS=r=(2√3)/3しかわかっていません。

BIを求めるためには、BSの長さを知る必要があります。

それにはどうしたら良いでしょうか?


△ABCの3辺が円Iの接線であることを改めて思い出してください。

接線には他にも性質があります。

★ 1点から1つの円に引いた2本の接線の長さは等しい

というものです。

円IとABとの接点をTとすれば、BS=BTです。

同様に、円IとACとの接点をUとすれば、いろいろなところがBSで表せます。
やってみましょう!

BS=xとするとCS=8-x
CS=CTなので、CU=8-x
AU=AC-CU=7-(8-x)=7-8+x=x-1
AU=ATなので、AT=x-1
BT=AB-AT=3-(x-1)=3-x+1=4-x

これで様々な辺をBS=xで表すことができましたね!
ならば、これらの長さを使って方程式でも作ってみようか?と考えていきましょう!


次の記事→⑧最後まで


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