2017年大学入試センター試験数学1A第5問 ⑧最後まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学1A第5問の最後までを解説します。

2017年1A第5問ここまでの記事→①[エ]まで②[キ]まで③[コ]まで④[サシ]まで⑤内接円の性質⑥[ソ]まで⑦接線の性質


■ 問題

2017年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=3,BC=8,AC=7とする。

(1) 辺AC上に点DをAD=3となるようにとり、△ABDの外接円と直線BCの交点でBと異なるものをEとする。このとき、BC・CE=[アイ]であるから、CE=[ウ]/[エ]である。

 直線ABと直線DEの交点をFとするとき、BF/AF=[オカ]/[キ]であるから、AF=[クケ]/[コ]である。

(2) ∠ABC=[サシ]°である。△ABCの内接円の半径は[ス]√[セ]/[ソ]であり、△ABCの内心をIとするとBI=[タ]√[チ]/[ツ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


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■ 解説

まずは前回の記事のおさらいから。

BS=xとするとCS=8-x
CS=CTなので、CU=8-x
AU=AC-CU=7-(8-x)=7-8+x=x-1
AU=ATなので、AT=x-1
BT=AB-AT=3-(x-1)=3-x+1=4-x

このように表すことができましたね。すると・・・

BS=BTだから、x=4-xです。
簡単な1次方程式になってしまいましたね!解いてみましょう!

  x=4-x
x+x=4
 2x=4
  x=2

つまり、BS=2です。


これで△BSIの3辺のうち2辺がわかりました。

直角三角形なので三平方の定理が使えます。

BI^2=BS^2+SI^2
   =2^2+{(2√3)/3}^2
   =4+(4×3)/9
   =4+4/3     ←約分した
   =16/3

BI=√(16/3)
  =4/√3
  =4√3/3    ←有理化した

よって、[タ]=4,[チ]=3,[ツ]=3


次の記事→⑨解答一覧と公式・性質


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