2017年大学入試センター試験数学2B第2問 ⑦[タ]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学2B第2問の[タ]までを解説します。

2017年2B第2問ここまでの記事→①導関数の基本②極値の基本③積分の基本④[イ]まで⑤[ク]まで⑥[セ]まで


■ 問題

2017年センター試験数2Bより

第2問

 Oを原点とする座標平面上の放物線y=x^2+1をCとし、点(a,2a)をPとする。

(1) 点Pを通り、放物線Cに接する直線の方程式を求めよう。

 C上の点(t,t^2+1)における接線の方程式は

  y=[ア]tx-t^2+[イ]

である。この直線がPを通るとすると、tは方程式

  t^2-[ウ]at+[エ]a-[オ]=0

を満たすから、t=[カ]a-[キ],[ク]である。よって、a≠[ケ]のとき、Pを通るCの接線は2本あり、それらの方程式は

  y=([コ]a-[サ])x-[シ]a^2+[ス]a ……{1}

  y=[セ]x

である。

(2) (1)の方程式{1}で表される直線をlとする。lとy軸との交点をR(0,r)とすると、r=-[シ]a^2+[ス]aである。r>0となるのは、[ソ]<a<[タ]のときであり、このとき、三角形ORPの面積Sは

  S=[チ](a^[ツ]-a^[テ])

となる。

 [ソ]<a<[タ]のとき、Sの増減を調べると、Sはa=[ト]/[ナ]で最大値[ニ]/[ヌネ]をとることがわかる。

(3) [ソ]<a<[タ]のとき、放物線Cと(2)の直線lおよび2直線x=0,x=aで囲まれた図形の面積をTとすると

  T=([ノ]/[ハ])a^3-[ヒ]a^2+[フ]

である。[ト]/[ナ]≦a<[タ]の範囲において、Tは[ヘ]。[へ]に当てはまるものを、次の{0}~{5}のうちから一つ選べ。

{0} 減少する  {1} 極小値をとるが、極大値はとらない
{2} 増加する  {3} 極大値をとるが、極小値はとらない
{4} 一定である  {5} 極小値と極大値の両方をとる


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログと合わせてご利用ください。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

次は(2)です。

「(1)の方程式{1}で表される直線をlとする」と言っています。
つまり、lの式は次のように表されます。

l:y=(4a-2)x-4a^2+4a

ですね。

さらに、この直線lとy軸との交点をR(0,r)としています。
通る点の座標は代入して成り立つので、そのまま代入してみましょう。

r=(4a-2)×0-4a^2+4a
r=-4a^2+4a

となります。r>0だからつまり、

-4a^2+4a>0
   a^2-a<0   ←両辺を-4で割った
  a(a-1)<0   ←因数分解した
∴0<a<1      ←横軸の下側だから「小さい方から大きい方の間」

よって、[ソ]=0,[タ]=1


次の記事→⑧[テ]まで


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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