2017年大学入試センター試験数学2B第2問 ⑩[フ]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学2B第2問の[フ]までを解説します。

2017年2B第2問ここまでの記事→①導関数の基本②極値の基本③積分の基本④[イ]まで⑤[ク]まで⑥[セ]まで⑦[タ]まで⑧[テ]まで⑨[ヌネ]まで


■ 問題

2017年センター試験数2Bより

第2問

 Oを原点とする座標平面上の放物線y=x^2+1をCとし、点(a,2a)をPとする。

(1) 点Pを通り、放物線Cに接する直線の方程式を求めよう。

 C上の点(t,t^2+1)における接線の方程式は

  y=[ア]tx-t^2+[イ]

である。この直線がPを通るとすると、tは方程式

  t^2-[ウ]at+[エ]a-[オ]=0

を満たすから、t=[カ]a-[キ],[ク]である。よって、a≠[ケ]のとき、Pを通るCの接線は2本あり、それらの方程式は

  y=([コ]a-[サ])x-[シ]a^2+[ス]a ……{1}

  y=[セ]x

である。

(2) (1)の方程式{1}で表される直線をlとする。lとy軸との交点をR(0,r)とすると、r=-[シ]a^2+[ス]aである。r>0となるのは、[ソ]<a<[タ]のときであり、このとき、三角形ORPの面積Sは

  S=[チ](a^[ツ]-a^[テ])

となる。

 [ソ]<a<[タ]のとき、Sの増減を調べると、Sはa=[ト]/[ナ]で最大値[ニ]/[ヌネ]をとることがわかる。

(3) [ソ]<a<[タ]のとき、放物線Cと(2)の直線lおよび2直線x=0,x=aで囲まれた図形の面積をTとすると

  T=([ノ]/[ハ])a^3-[ヒ]a^2+[フ]

である。[ト]/[ナ]≦a<[タ]の範囲において、Tは[ヘ]。[へ]に当てはまるものを、次の{0}~{5}のうちから一つ選べ。

{0} 減少する  {1} 極小値をとるが、極大値はとらない
{2} 増加する  {3} 極大値をとるが、極小値はとらない
{4} 一定である  {5} 極小値と極大値の両方をとる


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログと合わせてご利用ください。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

いよいよ次は(3)です。

0<a<1のとき、放物線Cと(2)の直線lおよび2直線x=0,x=aで囲まれた図形の面積をTとして、Tの値をaで表す問題です。

関数が境界線になっている図形の面積なら、定積分ですね。

まずはわかっている情報を整理しましょう!

放物線Cはy=x^2+1,直線lはy=(4a-2)x-4a^2+4aでCの接線、これらの関数とx=0,x=aで囲まれた図形を考えます。

Cは下に凸の放物線で、直線lはその接線なので、Cが上側、lが下側です。

面積を表すには、「上側-下側」の式を定積分ですね。
x=0,x=aにはさまれた図形の面積だから、積分の区間は0~aとなるので、

T=∫[0~a][x^2+1-{(4a-2)x-4a^2+4a}]dx
 =∫[0~a]{x^2+1-(4a-2)x+4a^2-4a}dx
 =∫[0~a]{x^2-(4a-2)x+4a^2-4a+1}dx
 =[(1/3)x^3-(2a-1)x^2+(4a^2-4a+1)x][0~a]
 =(1/3)a^3-(2a-1)a^2+(4a^2-4a+1)a-0
 =(1/3)a^3-2a^3+a^2+4a^3-4a^2+a
 =(7/3)a^3-3a^2+a

よって、[ノ]=7,[ハ]=3,[ヒ]=3,[フ]=a


次の記事→⑪最後まで


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