2017年大学入試センター試験数学2B第2問 ⑪最後まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学2B第2問の最後までを解説します。

2017年2B第2問ここまでの記事→①導関数の基本②極値の基本③積分の基本④[イ]まで⑤[ク]まで⑥[セ]まで⑦[タ]まで⑧[テ]まで⑨[ヌネ]まで⑩[フ]まで


■ 問題

2017年センター試験数2Bより

第2問

 Oを原点とする座標平面上の放物線y=x^2+1をCとし、点(a,2a)をPとする。

(1) 点Pを通り、放物線Cに接する直線の方程式を求めよう。

 C上の点(t,t^2+1)における接線の方程式は

  y=[ア]tx-t^2+[イ]

である。この直線がPを通るとすると、tは方程式

  t^2-[ウ]at+[エ]a-[オ]=0

を満たすから、t=[カ]a-[キ],[ク]である。よって、a≠[ケ]のとき、Pを通るCの接線は2本あり、それらの方程式は

  y=([コ]a-[サ])x-[シ]a^2+[ス]a ……{1}

  y=[セ]x

である。

(2) (1)の方程式{1}で表される直線をlとする。lとy軸との交点をR(0,r)とすると、r=-[シ]a^2+[ス]aである。r>0となるのは、[ソ]<a<[タ]のときであり、このとき、三角形ORPの面積Sは

  S=[チ](a^[ツ]-a^[テ])

となる。

 [ソ]<a<[タ]のとき、Sの増減を調べると、Sはa=[ト]/[ナ]で最大値[ニ]/[ヌネ]をとることがわかる。

(3) [ソ]<a<[タ]のとき、放物線Cと(2)の直線lおよび2直線x=0,x=aで囲まれた図形の面積をTとすると

  T=([ノ]/[ハ])a^3-[ヒ]a^2+[フ]

である。[ト]/[ナ]≦a<[タ]の範囲において、Tは[ヘ]。[へ]に当てはまるものを、次の{0}~{5}のうちから一つ選べ。

{0} 減少する  {1} 極小値をとるが、極大値はとらない
{2} 増加する  {3} 極大値をとるが、極小値はとらない
{4} 一定である  {5} 極小値と極大値の両方をとる


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログと合わせてご利用ください。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

そして最後は、Tの増減に関して正しいものを選ぶ問題です。

増減を調べるには、増減表を描くのが基本ですが、この問題では

2/3≦a<1における増減のみがわかれば大丈夫です。

つまり、Tの導関数を求め、極大・極小の場所のみわかれば良いということです。
まずはTを微分してみましょう!

T=(7/3)a^3-3a^2+a
T'=7a^2-6a+1

因数分解はできなそうなので、解の公式に代入して、

a=[-(-6)±√{(-6)^2-4×7×1}]/2×7
 ={6±√(36-28)}/14
 =(6±√8)/14
 =(6±2√2)/14
 =(3±√2)/7

√2=1.414…だから、(3+√2)/7≒4.414/7≒0.63

これは2/3より小さい値です。

(3-√2)/7は当然(3+√2)/7より小さい値です。

ということは、極大値も極小値も両方とも2/3≦a<1の範囲の左側にあります。

Tのa^3の項の係数はプラスなので、グラフは全体として右上がりの曲線です。
2/3≦a<1の範囲は、極小値の右側なので増加します。

よって、[ヘ]=2


次の記事→⑫解答一覧と公式・性質


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