2017年大学入試センター試験数学2B第3問 ⑨最後まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学2B第3問の最後までを解説します。

2017年2B第3問ここまでの記事→①基本的な用語・公式②[イ]まで③[ウ]まで④[キ]まで⑤[ケ]まで⑥[サシ]まで⑦[セ]まで⑧最後の設問の考え方


■ 問題

2017年センター試験数2Bより

第3問

 以下において考察する数列の項は、すべて実数であるとする。

(1) 等比数列{sn}の初項が1,公比が2であるとき

  s1s2s3=[ア],s1+s2+s3=[イ]

である。

(2) {sn}を初項x,公比rの等比数列とする。a,bを実数(ただしa≠0)とし、
{sn}の最初の3項が

  s1s2s3=a^3  ……{1}
  s1+s2+s3=b  ……{2}

を満たすとする。このとき

  xr=[ウ]  ……{3}

である。さらに、{2},{3}を用いて、r,a,bの満たす関係式を求めると

  [エ]r^2+([オ]-[カ])r+[キ]=0 ……{4}

を得る。{4}を満たす実数rが存在するので

  [ク]a^2+[ケ]ab-b^2≦0 ……{5}

である。
 逆に、a,bが{5}を満たすとき、{3},{4}を用いて、r,xの値を求めることができる。

(3) a=64,b=336のとき、(2)の条件{1},{2}を満たし、公比が1より大きい等比数列{sn}を考える。{3},{4}を用いて{sn}の公比rと初項xを求めると、r=[コ],x=[サシ]である。

 {sn}を用いて、数列{tn}を

  tn=sn・log[コ]sn (n=1,2,3,…)

と定める。このとき、{tn}の一般項はtn=(n+[ス])・[コ]^(n+[セ])である。
{tn}の初項から第n項までの和Unは、Un-[コ]Unを計算することにより

  Un={([ソ]n+[タ])/[チ]}・[コ]^(n+[ツ])-[テト]/[ナ]

であることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログとあわせてご利用ください。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

⑦[セ]までで求めた「tn=(n+1)・4^(n+1)」は、等差数列と等比数列の積で、そのまま使える公式はなさそうです。そんなときは・・・

仕方ないので、いきなり公式などに代入するのではなく、初項から第n項までを一つ一つ書いていってみましょう。

当たり前ですが、

Un=t1+t2+t3+……+tn-1+tn

ですね。さらに、tnの式にnの値を代入してみると、

Un=2・4^2+3・4^3+4・4^4+……+n・4^n+(n+1)・4^(n+1)

となります。
4Unも同様に表すと、

4Un=2・4^3+3・4^4+4・4^5+……+n・4^(n+1)+(n+1)・4^(n+2)

となります。


では、問題の指示の通りに、Un-4Unをやってみます。
筆算の形にして、「ずらして引く」と、間の部分が普通の等比数列になります。

 Un=2・4^2+3・4^3+……+n・4^n+(n+1)・4^(n+1)
4Un=     2・4^3+3・4^4+……+n・4^(n+1)+(n+1)・4^(n+2)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
-3Un=2・4^2+4^3+4^4+……+4^(n+1)-(n+1)・4^(n+2)

右辺の最初と最後を除いて間の項に注目すると・・・

初項が4^3,公比が4、項数がn-1の等比数列ということができますね!
等比数列の部分は等比数列の公式を使って計算できます。やってみましょう!

    =2・4^2+4^3{4^(n-1)-1}/(4-1)-(n+1)・4^(n+2)
    =32+{4^(r+2)-4^3}/3-(n+1)・4^(n+2)
    =32-4^3/3+4^(r+2)/3-(n+1)・4^(n+2)
    =(96-64)/3+4^(r+2){1/3-(n+1)}
    =32/3+4^(r+2)・(1-3n-3)/3
    =32/3+4^(r+2)・(-3n-2)/3
  Un=-32/9+4^(r+2)・(3n+2)/9   ←両辺を3で割った
    ={(3n+2)/9}・4^(r+2)-32/9   ←解答の形式に合わせた

よって、[ソ]=3,[タ]=2,[チ]=9,[ツ]=2,[テト]=32,[ナ]=9


次の記事→⑩解答一覧と公式・性質


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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