2017年大学入試センター試験数学2B第4問 ①ベクトルの基本

この記事では、2017年大学入試センター試験数学2B第4問に関して、ベクトルの基本を解説します。


■ 問題

2017年センター試験数2Bより

第4問

 座標平面上に点A(2,0)をとり、原点Oを中心とする半径が2の円周上に点B,C,D,E,Fを、点A,B,C,D,E,Fが順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、Bは第1象限にあるとする。

(1) 点Bの座標は([ア],√[イ]),点Dの座標は(-[ウ],0)である。
                                 →
(2) 線分BDの中点をMとし、直線AMと直線CDの交点をNとする。ONを求めよう。
  →            →  →   →  →  →   →
 ONは実数r,sを用いて、ON=OA+rAM,ON=OD+sDCと2通りに表すことができる。ここで
   →
  AM=(-[エ]/[オ],√[カ]/[キ])
   →
  DC=([ク],√[ケ])

であるから

  r=[コ]/[サ],s=[シ]/[ス]

である。よって
   →
  ON=(-[セ]/[ソ],[タ]√[チ]/[ツ])

である。

(3) 線分BF上に点Pをとり、そのy座標をaとする。点Pから直線CEに引いた垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線との交点をHとする。
  →
 EPが
   →
  EP=([テ],[ト]+√[ナ])

と表せることにより、Hの座標をaを用いて表すと

  (([ニ]a^[ヌ]+[ネ])/[ノ],[ハ])

である。  →  →
 さらに、OPとOHのなす角をθとする。cosθ=12/13のとき、aの値は

  a=±[ヒ]/[フヘ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログとあわせてご利用ください。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

2017年も、数学2B第4問は、ベクトルについての問題でした。
まずは、ベクトルに関する基本的な用語と公式について確認しておきましょう!

ベクトルは大きさと向きの両方の情報を持った数量です。      →
2点A,Bがあるとき、AからBへ進むことをベクトルABといい、ABと表します。

ABは、「Bの座標-Aの座標」で求めることができます。
 →                 →
|AB|は「ベクトルABの絶対値」で、ABの長さ(大きさ)を表します。

ベクトルは座標と同じような表現方法で、始点から終点までどのように動くかを表すことができます。
                             →
例えば、AからBに行くには、右に1,上に2進むとすると、AB=(1,2)と書くことができます。
     →
そして、|AB|は、三平方の定理で求めることができます。この例の場合は、
 →
|AB|=√(1^2+2^2)=√5ですね。


続いて、成分で表されたベクトルの計算について、簡単に説明しておきます。
→       →
a=(x1,y1),b=(x2,y2)とすると、
  → →
★ a+b=(x1+x2,y1+y2)
  → →            → →
★ a・b=x1・x2+y1・y2=|a||b|cosθ

などとなります。

つまり、足し算は、成分のx同士y同士をそれぞれ足す。
かけ算はx同士y同士をそれぞれ掛けてから足す。

と考えておけば大丈夫です。
     → →
ちなみに、a・bは、「ベクトルaとベクトルbの内積」と呼びます。
cosθのθは、2つのベクトルのなす角、つまり、2つのベクトルの始点を
合わせたときに、その間にできる角を表します。

内積は、cosθを使って表すことができ、cos90°=0なので、ベクトルが垂直のときは、内積の値は必ず0になります。


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