2017年大学入試センター試験数学2B第4問 ②[ウ]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学2B第4問の[ウ]までを解説します。

2017年2B第4問ここまでの記事→①ベクトルの基本


■ 問題

2017年センター試験数2Bより

第4問

 座標平面上に点A(2,0)をとり、原点Oを中心とする半径が2の円周上に点B,C,D,E,Fを、点A,B,C,D,E,Fが順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、Bは第1象限にあるとする。

(1) 点Bの座標は([ア],√[イ]),点Dの座標は(-[ウ],0)である。
                                 →
(2) 線分BDの中点をMとし、直線AMと直線CDの交点をNとする。ONを求めよう。
  →            →  →   →  →  →   →
 ONは実数r,sを用いて、ON=OA+rAM,ON=OD+sDCと2通りに表すことができる。ここで
   →
  AM=(-[エ]/[オ],√[カ]/[キ])
   →
  DC=([ク],√[ケ])

であるから

  r=[コ]/[サ],s=[シ]/[ス]

である。よって
   →
  ON=(-[セ]/[ソ],[タ]√[チ]/[ツ])

である。

(3) 線分BF上に点Pをとり、そのy座標をaとする。点Pから直線CEに引いた垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線との交点をHとする。
  →
 EPが
   →
  EP=([テ],[ト]+√[ナ])

と表せることにより、Hの座標をaを用いて表すと

  (([ニ]a^[ヌ]+[ネ])/[ノ],[ハ])

である。  →  →
 さらに、OPとOHのなす角をθとする。cosθ=12/13のとき、aの値は

  a=±[ヒ]/[フヘ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログとあわせてご利用ください。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

では、今回の問題です。
ぜひ図を描いて照らし合わせながら読んでいってみてください。

まず座標平面上に点A(2,0)をとって、原点Oを中心とする半径2の円があるようです。そしてその円周上に6つの点を正六角形になるようにとるのですね。

Aの座標は決まっていて、「Bは第1象限にある」ので、残りの4つの点の座標も決まります。

正六角形は、対角線を引くと、正三角形6つに分けることができます。
円の半径は2なので、一辺が2の正三角形6つです。

△OABは、OAがx軸上にあります。
BはOAの中点の真上にあるので、その座標は(1,√3)です。

DはOに対してAのちょうと反対側なので、(-2,0)となります。

よって、[ア]=1,[イ]=3,[ウ]=2

さらに、CはBとy軸に対して対象なので(-1,√3)ですね!


次の記事→③[ケ]まで


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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