2017年2B第4問ここまでの記事→①ベクトルの基本、②[ウ]まで、③[ケ]まで
■ 問題
2017年センター試験数2Bより
第4問
座標平面上に点A(2,0)をとり、原点Oを中心とする半径が2の円周上に点B,C,D,E,Fを、点A,B,C,D,E,Fが順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、Bは第1象限にあるとする。
(1) 点Bの座標は([ア],√[イ]),点Dの座標は(-[ウ],0)である。
→
(2) 線分BDの中点をMとし、直線AMと直線CDの交点をNとする。ONを求めよう。
→ → → → → → →
ONは実数r,sを用いて、ON=OA+rAM,ON=OD+sDCと2通りに表すことができる。ここで
→
AM=(-[エ]/[オ],√[カ]/[キ])
→
DC=([ク],√[ケ])
であるから
r=[コ]/[サ],s=[シ]/[ス]
である。よって
→
ON=(-[セ]/[ソ],[タ]√[チ]/[ツ])
である。
(3) 線分BF上に点Pをとり、そのy座標をaとする。点Pから直線CEに引いた垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線との交点をHとする。
→
EPが
→
EP=([テ],[ト]+√[ナ])
と表せることにより、Hの座標をaを用いて表すと
(([ニ]a^[ヌ]+[ネ])/[ノ],[ハ])
である。 → →
さらに、OPとOHのなす角をθとする。cosθ=12/13のとき、aの値は
a=±[ヒ]/[フヘ]
である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
■ おすすめ問題集
今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログとあわせてご利用ください。
数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。
■ 解説
→ → →
③[ケ]までで、AMとDCがわかったので、ONの式に代入できますね!
→ → →
ON=OA+rAM
=(2,0)+r(-5/2,√3/2)
=(-5r/2+2,√3r/2)
→ → →
ON=OD+sDC
=(-2,0)+s(1,√3)
=(-2+s,√3s)
→
これでONを2通りの方法で表すことができました。
これらは等しいので、x成分同士、y成分同士イコールで結びます。
x成分:-5r/2+2=-2+s
y成分:√3r/2=√3s
これらを連立して解いてみましょう!
√3r/2=√3s
r/2=s ←両辺を√3で割った
r=2s ←両辺を2倍した
-5r/2+2=-2+sにr=2sを代入して、
-5×2s/2+2=-2+s
-5s+2=-2+s
-6s=-4 ←移項した
s=2/3
r=2sなので、r=4/3
よって、[コ]=4,[サ]=3,[シ]=2,[ス]=3
→
さらに、ON=(-2+s,√3s)にs=2/3を代入すれば、
→
ON=(-2+2/3,√3・2/3)=(-4/3,2√3/3)
よって、[セ]=4,[ソ]=3,[タ]=2,[チ]=3,[ツ]=3
次の記事→⑤[ナ]まで
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