2017年２Ｂ第４問ここまでの記事→①ベクトルの基本、②[ウ]まで、③[ケ]まで
■ 問題
2017年センター試験数２Ｂより
第４問
座標平面上に点Ａ(２，０)をとり、原点Ｏを中心とする半径が２の円周上に点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆを、点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆが順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、Ｂは第１象限にあるとする。
(1) 点Ｂの座標は([ア]，√[イ])，点Ｄの座標は(－[ウ]，０)である。
→
(2) 線分ＢＤの中点をＭとし、直線ＡＭと直線ＣＤの交点をＮとする。ＯＮを求めよう。
→ → → → → → →
ＯＮは実数ｒ，ｓを用いて、ＯＮ＝ＯＡ＋ｒＡＭ，ＯＮ＝ＯＤ＋ｓＤＣと２通りに表すことができる。ここで
→
ＡＭ＝(－[エ]／[オ]，√[カ]／[キ])
→
ＤＣ＝([ク]，√[ケ])
であるから
ｒ＝[コ]／[サ]，ｓ＝[シ]／[ス]
である。よって
→
ＯＮ＝(－[セ]／[ソ]，[タ]√[チ]／[ツ])
である。
(3) 線分ＢＦ上に点Ｐをとり、そのｙ座標をａとする。点Ｐから直線ＣＥに引いた垂線と、点Ｃから直線ＥＰに引いた垂線との交点をＨとする。
→
ＥＰが
→
ＥＰ＝([テ]，[ト]＋√[ナ])
と表せることにより、Ｈの座標をａを用いて表すと
(([ニ]ａ^[ヌ]＋[ネ])／[ノ]，[ハ])
である。 → →
さらに、ＯＰとＯＨのなす角をθとする。ｃｏｓθ＝１２／１３のとき、ａの値は
ａ＝±[ヒ]／[フヘ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
■ おすすめ問題集
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■ 解説
→ → →
③[ケ]までで、ＡＭとＤＣがわかったので、ＯＮの式に代入できますね！
→ → →
ＯＮ＝ＯＡ＋ｒＡＭ
＝(２，０)＋ｒ(－５／２，√３／２)
＝(－５ｒ／２＋２，√３ｒ／２)
→ → →
ＯＮ＝ＯＤ＋ｓＤＣ
＝(－２，０)＋ｓ(１，√３)
＝(－２＋ｓ，√３ｓ)
→
これでＯＮを２通りの方法で表すことができました。
これらは等しいので、ｘ成分同士、ｙ成分同士イコールで結びます。
ｘ成分：－５ｒ／２＋２＝－２＋ｓ
ｙ成分：√３ｒ／２＝√３ｓ
これらを連立して解いてみましょう！
√３ｒ／２＝√３ｓ
ｒ／２＝ｓ ←両辺を√３で割った
ｒ＝２ｓ ←両辺を２倍した
－５ｒ／２＋２＝－２＋ｓにｒ＝２ｓを代入して、
－５×２ｓ／２＋２＝－２＋ｓ
－５ｓ＋２＝－２＋ｓ
－６ｓ＝－４ ←移項した
ｓ＝２／３
ｒ＝２ｓなので、ｒ＝４／３
よって、[コ]＝４，[サ]＝３，[シ]＝２，[ス]＝３
→
さらに、ＯＮ＝(－２＋ｓ，√３ｓ)にｓ＝２／３を代入すれば、
→
ＯＮ＝(－２＋２／３，√３・２／３)＝(－４／３，２√３／３)
よって、[セ]＝４，[ソ]＝３，[タ]＝２，[チ]＝３，[ツ]＝３
次の記事→⑤[ナ]まで
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