2017年２Ｂ第４問ここまでの記事→①ベクトルの基本、②[ウ]まで、③[ケ]まで、④[ツ]まで、⑤[ナ]まで
■ 問題
2017年センター試験数２Ｂより
第４問
座標平面上に点Ａ(２，０)をとり、原点Ｏを中心とする半径が２の円周上に点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆを、点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆが順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、Ｂは第１象限にあるとする。
(1) 点Ｂの座標は([ア]，√[イ])，点Ｄの座標は(－[ウ]，０)である。
→
(2) 線分ＢＤの中点をＭとし、直線ＡＭと直線ＣＤの交点をＮとする。ＯＮを求めよう。
→ → → → → → →
ＯＮは実数ｒ，ｓを用いて、ＯＮ＝ＯＡ＋ｒＡＭ，ＯＮ＝ＯＤ＋ｓＤＣと２通りに表すことができる。ここで
→
ＡＭ＝(－[エ]／[オ]，√[カ]／[キ])
→
ＤＣ＝([ク]，√[ケ])
であるから
ｒ＝[コ]／[サ]，ｓ＝[シ]／[ス]
である。よって
→
ＯＮ＝(－[セ]／[ソ]，[タ]√[チ]／[ツ])
である。
(3) 線分ＢＦ上に点Ｐをとり、そのｙ座標をａとする。点Ｐから直線ＣＥに引いた垂線と、点Ｃから直線ＥＰに引いた垂線との交点をＨとする。
→
ＥＰが
→
ＥＰ＝([テ]，[ト]＋√[ナ])
と表せることにより、Ｈの座標をａを用いて表すと
(([ニ]ａ^[ヌ]＋[ネ])／[ノ]，[ハ])
である。 → →
さらに、ＯＰとＯＨのなす角をθとする。ｃｏｓθ＝１２／１３のとき、ａの値は
ａ＝±[ヒ]／[フヘ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
■ おすすめ問題集
今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログとあわせてご利用ください。
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■ 解説
次はＨの座標を表します。
Ｈは「ＰからＣＥに引いた垂線」上にあるので、ｙ座標はａです。
ｘ座標は今のところわからないので、Ｈ(ｘ，ａ)として式を作ってみましょう！
ＥＰとＣＨは垂直なので、それぞれベクトルで表せば、内積がゼロという式を作ることができます。
内積★ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓθなので、θ＝９０°ならば右辺が０ですね。
→
ＥＰ＝(２，ａ＋√３)は、⑤[ナ]までで表しました。
→
ＣＨ＝(ｘ，ａ)－(－１，√３)＝(ｘ＋１，ａ－√３)
これらの内積は、
→ →
ＥＰ・ＣＨ＝２(ｘ＋１)＋(ａ＋√３)(ａ－√３)
＝２ｘ＋２＋ａ^2－３
＝２ｘ＋ａ^2－１＝０ ←垂直なので内積がゼロ
２ｘ＝－ａ^2＋１ ←移項した
ｘ＝(－ａ^2＋１)／２
これがＨのｘ座標です。ｙ座標はａなので、Ｈ((－ａ^2＋１)／２，ａ)ですね。
よって、[ニ]＝１，[ヌ]＝２，[ネ]＝１，[ノ]＝２，[ハ]＝ａ
次の記事→⑦最後まで
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