2017年2B第4問ここまでの記事→①ベクトルの基本、②[ウ]まで、③[ケ]まで、④[ツ]まで、⑤[ナ]まで
■ 問題
2017年センター試験数2Bより
第4問
座標平面上に点A(2,0)をとり、原点Oを中心とする半径が2の円周上に点B,C,D,E,Fを、点A,B,C,D,E,Fが順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、Bは第1象限にあるとする。
(1) 点Bの座標は([ア],√[イ]),点Dの座標は(-[ウ],0)である。
→
(2) 線分BDの中点をMとし、直線AMと直線CDの交点をNとする。ONを求めよう。
→ → → → → → →
ONは実数r,sを用いて、ON=OA+rAM,ON=OD+sDCと2通りに表すことができる。ここで
→
AM=(-[エ]/[オ],√[カ]/[キ])
→
DC=([ク],√[ケ])
であるから
r=[コ]/[サ],s=[シ]/[ス]
である。よって
→
ON=(-[セ]/[ソ],[タ]√[チ]/[ツ])
である。
(3) 線分BF上に点Pをとり、そのy座標をaとする。点Pから直線CEに引いた垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線との交点をHとする。
→
EPが
→
EP=([テ],[ト]+√[ナ])
と表せることにより、Hの座標をaを用いて表すと
(([ニ]a^[ヌ]+[ネ])/[ノ],[ハ])
である。 → →
さらに、OPとOHのなす角をθとする。cosθ=12/13のとき、aの値は
a=±[ヒ]/[フヘ]
である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
■ おすすめ問題集
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■ 解説
次はHの座標を表します。
Hは「PからCEに引いた垂線」上にあるので、y座標はaです。
x座標は今のところわからないので、H(x,a)として式を作ってみましょう!
EPとCHは垂直なので、それぞれベクトルで表せば、内積がゼロという式を作ることができます。
内積★a・b=|a||b|cosθなので、θ=90°ならば右辺が0ですね。
→
EP=(2,a+√3)は、⑤[ナ]までで表しました。
→
CH=(x,a)-(-1,√3)=(x+1,a-√3)
これらの内積は、
→ →
EP・CH=2(x+1)+(a+√3)(a-√3)
=2x+2+a^2-3
=2x+a^2-1=0 ←垂直なので内積がゼロ
2x=-a^2+1 ←移項した
x=(-a^2+1)/2
これがHのx座標です。y座標はaなので、H((-a^2+1)/2,a)ですね。
よって、[ニ]=1,[ヌ]=2,[ネ]=1,[ノ]=2,[ハ]=a
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