2016年大学入試センター試験数学1A第1問[1] ②[カ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学1A第1問[1]の[カ]までを解説します。

2016年1Aここまでの解説→①[イ]まで


■ 問題

2016年センター試験数1Aより

第1問

[1] aを実数とする。xの関数

 f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x

を考える。

 f(x)=(-[ア]a+[イ])x+2a+1

である。

(1) 0≦x≦1におけるf(x)の最小値は、

 a≦[イ]/[ア]のとき、[ウ]a+[エ]であり、
 a>[イ]/[ア]のとき、[オ]a+[カ]である。

(2) 0≦x≦1において、常にf(x)≧2(a+2)/3となるaの値の範囲は、
[キ]/[ク]≦a≦[ケ]/[コ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログとあわせてご利用ください。



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■ 解説

次はf(x)の最小値についての設問です。
最小とか言われると、途端に尻込みする人が多いですが、案ずるより産むが易し。です。

とにかく、実際の値やグラフを考えて、どんなときに値が大きくなり、どんなときに値が小さくなるのかを考えれば、大したことはない場合も多いです。(それが難しいという声はもちろん承知していますが・・・(^^;)

まあ、とにかく、まずは問題の設定をよく確認してみましょう!


(1) 0≦x≦1におけるf(x)の最小値は、

 a≦[イ]/[ア]のとき、[ウ]a+[エ]であり、
 a>[イ]/[ア]のとき、[オ]a+[カ]である。

とあります。
空欄がたくさんありますが、[ア]と[イ]は、すでに求めています。
その値を入れてみれば、

a≦1/3のとき、[ウ]a+[エ]であり、
a>1/3のとき、[オ]a+[カ]である。

となります。
かなりすっきりしましたね?


ここで、f(x)についてもう少し詳しくみてみましょう。

f(x)=(-3a+1)x+2a+1

f(x)はxの1次式です。つまり、これは1次関数ですね。
ならば、xの係数がプラスなら右上がり、マイナスなら右下がりの直線となります。

xの係数の符号によってグラフの向きが変わるのだから、言い換えれば、xの係数がプラスかマイナスかで最大最小の場所が変わる。ということができます。

係数は-3a+1なので、-3a+1≧0すなわちa≦1/3のときが右上がり。
-3a+1<0すなわちa>1/3のときが右下がりです。つまり・・・

xの係数がプラスならば、定義域の左端が最小値。
xの係数がマイナスならば、定義域の右端が最小値。

ということができます。

右上がりならば、右が大きく左が小さい。
右下がりならば、右が小さく左が大きい。

ですよね?

定義域は0≦x≦1なので、左端はf(0),右端はf(1)ですね。

f(0)=2a+1
f(1)=-3a+1+2a+1=-a+2

ということで、f(x)の最小値は、

a≦1/3のとき2a+1であり、
a>1/3のとき-a+2である。

よって、[ウ]=2,[エ]=1,[オ]=-,[カ]=2


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