2016年大学入試センター試験数学1A第1問[1] ③最後まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学1A第1問[1]の最後までを解説します。

2016年1Aここまでの解説→①[イ]まで②[カ]まで


■ 問題

2016年センター試験数1Aより

第1問

[1] aを実数とする。xの関数

 f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x

を考える。

 f(x)=(-[ア]a+[イ])x+2a+1

である。

(1) 0≦x≦1におけるf(x)の最小値は、

 a≦[イ]/[ア]のとき、[ウ]a+[エ]であり、
 a>[イ]/[ア]のとき、[オ]a+[カ]である。

(2) 0≦x≦1において、常にf(x)≧2(a+2)/3となるaの値の範囲は、
[キ]/[ク]≦a≦[ケ]/[コ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログとあわせてご利用ください。



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■ 解説

(2) 0≦x≦1において、常にf(x)≧2(a+2)/3となるaの値の範囲は、[キ]/[ク]≦a≦[ケ]/[コ]である。

(2)はなんだか難しそうですね(笑)
最近のセンター試験は、このように見た目だけ難しくする問題が多いです。

惑わされずに着実に解けば、やはり、たいしたことはありません!

まずは問題の意味をしっかり把握しましょう。

「0≦x≦1において」この定義域は(1)と同じです。

「常にf(x)≧2(a+2)/3となる」これはf(x)の式の値が2(a+2)/3と同じか大きいことを意味しますね?

ここまで何も特別なことは言っていません。
問題文に書いてあることを読んだだけです。

でも、これだけ確認しただけでも、できそうな気がしてきませんか?


では、もう少し詳しくみていきましょう。

敢えてもう一度書きますが、f(x)は1次関数(=直線)でしたね?
直線ということは、当然ですが、定義域の両端が最大か最小になります。
定義域内には、両端より大きいか小さい場所はないはずです。

ということは、定義域の両端がf(x)≧2(a+2)/3ならば、その間もf(x)≧2(a+2)/3を満たす。といえますね?

定義域は(1)と同じく0≦x≦1です。
ならば、f(0)≧2(a+2)/3,f(1)≧2(a+2)/3を計算し、その共通範囲を考えればOK!ですね。

では、実際に計算してみましょう!

f(0)=2a+1≧2(a+2)/3
    6a+3≧2a+4
   6a-2a≧4-3
      4a≧1
       a≧1/4

f(1)=-a+2≧2(a+2)/3
   -3a+6≧2a+4
  -3a-2a≧4-6
     -5a≧-2
       a≦2/5

これらの共通範囲は、1/4≦a≦2/5ですね。

よって、[キ]=1,[ク]=4,[ケ]=2,[コ]=5


次の記事→④解答一覧と公式・性質


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