2016年大学入試センター試験数学1A第1問[2] ⑤[ソ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学1A第1問[2]の[ソ]までを解説します。

2016年1A第1問[2]ここまでの記事→①用語・記号②[サ]まで③[セ]まで④必要条件・十分条件の基本


■ 問題

2016年センター試験数1Aより

第1問

[2] 次の問いに答えよ。必要ならば、√7が無理数であることを用いてよい。

(1) Aを有理数全体の集合、Bを無理数全体の集合とする。空集合を{}と表す。
(ただし、実際のセンター試験では、空集合は○に斜め線の入った記号で表している)

 次の(i)~(iv)が真の命題になるように、[サ]~[セ]に当てはまるものを、下の{0}~{5}のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(i) A[サ]{0}  (ii)√28[シ]B
(iii) A={0}[ス]A  (iv) {}=A[セ]B

{0}∈  {1}∋  {2}⊂  {3}⊃  {4}∩  {5}∪


(2) 実数xに対する条件p,q,rを次のように定める。

  p:xは無理数
  q:x+√28は有理数
  r:(√28)xは有理数

次の[ソ],[タ]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

  pはqであるための[ソ]。
  pはrであるための[タ]。

{0} 必要十分条件である
{1} 必要条件であるが、十分条件でない
{2} 十分条件であるが、必要条件でない
{3} 必要条件でも十分条件でもない


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

では実際に、(2)の問題を考えてみましょう。

条件p,q,rは

  p:xは無理数
  q:x+√28は有理数
  r:(√28)xは有理数

となっています。

まずは「pはqであるための[ソ]。」を問われています。

何条件か判断するには、④必要条件・十分条件の基本で見たように、p→qとq→pの真偽を考えればよいです。

p→qは、「xは無理数ならばx+√28は有理数」となります。

例えばx=√2ならば、x+√28=√2+√28=√2+2√7なので、無理数ですね。つまり、反例があります。ということは、この命題は偽です。

q→pは、「x+√28は有理数ならばxは無理数」となります。

まずx+√28が有理数になるためには、√28が消えなければいけません。
x=-√28ならば、x+√28=0となり、有理数になります。
x+√28が有理数になるためには、xは「●-√28」のような、-√28を含む数である必要があります。√28を打ち消すには-√28が必要ですね。
ということは、xは必ず無理数になるので、この命題は真です。

つまり、「そのままの命題が偽、逆の命題が真」なので・・・

pはqであるための「必要条件」となります。

よって、[ソ]={1}


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