2016年大学入試センター試験数学1A第1問[3] ②[チツテ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学1A第1問[3]の[チツテ]までを解説します。

2016年1A第1問[3]ここまでの解説→①2次不等式を解くために最初にやること


■ 問題

2016年センター試験数1Aより

第1問

[3] aを1以上の定数とし、xについての連立不等式

{x^2+(20-a^2)x-20a^2≦0 ・・・{1}
{x^2+4ax≧0 ・・・{2}

を考える。このとき、不等式{1}の解は[チツテ]≦x≦a^2である。
また、不等式{2}の解はx≦[トナ]a,[ニ]≦xである。

 この連立不等式を満たす負の実数が存在するようなaの値の範囲は

 1≦a≦[ヌ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

今求めた2次方程式の解をどう使えば良いでしょうか?

y=x^2+(20-a^2)x-20a^2という2次関数と組み合わせて考えます。

y=x^2+(20-a^2)x-20a^2は、下に凸の2次関数です。
この2次関数の値を考える。つまり、グラフ上の位置を考えることで、2次不等式の解を求めることができます。

少しばかりイメージは沸いたでしょうか?


ここでもとの不等式を確認します。

x^2+(20-a^2)x-20a^2≦0だったので、左辺が0以下ですね。
つまり、2次関数を考えたとき、左辺の式の値はx軸の下側になる。というわけです。

2次方程式の解は、2次関数とx軸との交点を表すので、x軸の下側は、-20からa^2の間となります。

つまり2次不等式の解は、-20≦x≦a^2となります。

よって、[チツテ]=-20


次の記事→③[ニ]まで


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