2016年大学入試センター試験数学1A第2問[1] ⑤最後まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学1A第2問[1]の最後までを解説します。

2016年1A第2問[1]ここまでの記事→①[ア]まで②余弦定理の使い方③[ウエ]まで④[カ]まで


■ 問題

2016年センター試験数1Aより

第2問

[1] △ABCの辺の長さと角の大きさを測ったところ、AB=7√3および
∠ACB=60°であった。したがって、△ABCの外接円Oの半径は[ア]である。

 外接円Oの、点Cを含む弧AB上で点Pを動かす。

(1) 2PA=3PBとなるのはPA=[イ]√[ウエ]のときである。

(2) △PABの面積が最大となるのはPA=[オ]√[カ]のときである。

(3) sin∠PBAの値が最大となるのはPA=[キク]のときであり、このとき
△PABの面積は([ケコ]√[サ])/[シ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

そして最後は、

(3) sin∠PBAの値が最大となるのはPA=[キク]のときであり、このとき△PABの面積は([ケコ]√[サ])/[シ]である。

とあります。

まず、「sin∠PBAの値が最大となる」場合を考えてみましょう。

一般的に、★sinθ=y/rなので、yが最大つまりθ=90°のときがサインの値は最大で1となります。

つまり、∠PBA=90°のときがPAは最大になります。
円周角の定理より、∠ABP=60°なので、△ABPは90°,60°,30°の直角三角形となります。つまり、辺の比は1:2:√3です。

AB:PA=√3:2にAB=7√3を代入して、

7√3:PA=√3:2
  √3PA=14√3
    PA=14

そして、BP=(1/2)PAなので、BP=7となります。

△PABは直角三角形なので、普通に「底辺×高さ÷2」で面積が出ますね!

△PAB=7√3×7÷2
    =(49√3)/2

よって、[キク]=14,[ケコ]=49,[サ]=3,[シ]=2


次の記事→⑥解答一覧と公式・性質


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