2016年大学入試センター試験数学1A第2問[2][3] ⑦最後まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学1A第2問[2][3]の最後までを解説します。

2016年1A第2問[2][3]ここまでの記事→①[セ]まで②四分位数と箱ひげ図③[ソ]まで④[チ]まで⑤[ツ]まで⑥[テ]まで


■ 問題

2016年センター試験数1Aより

第2問

[2] 次の4つの散布図は、2003年から2012年までの120か月の東京の月別データをもとめたものである。それぞれ、1日の最高気温の月平均(以下、平均最高気温)、1日あたり平均降水量、平均湿度、最高気温25℃以上の日数の割合を横軸にあり、各世帯の1日あたりアイスクリーム平均購入額(以下、購入額)を縦軸としてある。

散布図

 次の[ス],[セ]に当てはまるものを、下の{0}~{4}のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 これらの散布図から読み取れることとして正しいものは、[ス]と[セ]である。


{0} 平均最高気温が高くなるほど購入額は増加する傾向がある。
{1} 1日あたり平均降水量が多くなるほど購入額は増加する傾向がある。
{2} 平均湿度が高くなるほど購入額の散らばりは小さくなる傾向がある。
{3} 25℃以上の日数の割合が80%未満の月は、購入額が30円を超えていない。
{4} この中で正の相関があるのは、平均湿度と購入額の間のみである。


[3] 世界4都市(東京,O市,N市,M市)の2013年の365日の各日の最高気温のデータについて考える。

(1) 次のヒストグラムは、東京、N市、M市のデータをまとめたもので、この3都市の箱ひげ図は下のa,b,cのいずれかである。

ヒストグラムと箱ひげ図

 次の[ソ]に当てはまるものを、下の{0}~{5}のうちから一つ選べ。

 都市名と箱ひげ図の組み合わせとして正しいものは、[ソ]である。

{0} 東京-a,N市-b,M市-c  {1} 東京-a,N市-c,M市-b
{2} 東京-b,N市-a,M市-c  {3} 東京-b,N市-c,M市-a
{4} 東京-c,N市-a,M市-b  {5} 東京-c,N市-b,M市-a

(2) 次の3つの散布図は、東京、O市、N市、M市の2013年の365日の各日の最高気温のデータをとりまとめたものである。それぞれ、O市、N市、M市の最高気温を縦軸にとり、東京の最高気温を横軸にとってある。

4都市の散布図

 次の[タ],[チ]に当てはまるものを、下の{0}~{4}のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 これらの散布図から読み取れることとして正しいものは、[タ]と[チ]である。

{0} 東京とN市、東京とM市の最高気温の間にはそれぞれ正の相関がある。
{1} 東京とN市の最高気温の間には正の相関、東京とM市の最高気温の間には負の相関がある。
{2} 東京とN市の最高気温の間には負の相関、東京とM市の最高気温の間には正の相関がある。
{3} 東京とO市の最高気温の間の相関の方が、東京とN市の最高気温の間の相関より強い。
{4} 東京とO市の最高気温の間の相関の方が、東京とN市の最高気温の間の相関より弱い。

(3) 次の[ツ],[テ],[ト]に当てはまるものを、下の{0}~{9}のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 N市では温度の単位として摂氏(℃)ほかに華氏(°F)も使われている。華氏(°F)での温度は、摂氏(℃)での温度を9/5倍し、32を加えると得られる。例えば、摂氏10℃は、9/5倍し32を加えることで華氏50°Fとなる。
 したがって、N市の最高気温について、摂氏での分散をX,華氏での分散をYとすると、Y/Xは[ツ]になる。
 東京(摂氏)とN市(摂氏)の共分散をZ、東京(摂氏)とN市(華氏)の共分散をWとすると、W/Zは[テ]になる(ただし、共分散は2つの変量のそれぞれの偏差の積の平均値)。
 東京(摂氏)とN市(摂氏)の相関係数をU,東京(摂氏)とN市(華氏)の相関係数をVとすると、V/Uは[ト]になる。

{0} -81/25  {1} -9/5  {2} -1  {3} -5/9  {4} -25/81
{5} 25/81  {6} 5/9  {7} 1  {8} 9/5  {9} 81/25


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

最後は相関係数についての比較を聞いています。

 東京(摂氏)とN市(摂氏)の相関係数をU,東京(摂氏)とN市(華氏)の相関係数を
Vとすると、V/Uは[ト]になる。

共分散はやり方が書いてあったのに、相関係数はなぜか書いていません(^^;
最後だけは計算方法を覚えていなければ解けないようにした。ということだと思い
ますが、論理的整合性に疑問が残りますね~

まあ、不満はおいといて、まずは計算方法を書いておきます。

★「相関係数=共分散÷それぞれの標準偏差の積」で求めることができます。

当たり前ですが、2つの数量に正の相関があれば相関係数は正の数に、
負の相関があれば相関係数は負の数になります。

⑥[テ]までで求めたように、摂氏と華氏の共分散は摂氏同士の9/5倍でした。

華氏の標準偏差は摂氏の9/5倍なので、「それぞれの標準偏差の積」も9/5倍となります。

相関係数Vは、9/5倍を9/5倍で割るので、結局1倍です。

つまり、U=Vとなります。

相関係数は、データ同士の分布を表す数値なので、単位を変えても変わらない。
ということですね!

よって、[ト]={7}


次の記事→⑧解答一覧と公式・性質

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