2016年１Ａ第５問ここまでの記事→①図の確認、②[ア]まで、③[ウ]まで
■ 問題
2016年センター試験数１Ａより
第５問
四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝２，ＤＡ＝ＤＣであり、４つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは同一円周上にある。対角線ＡＣと対角線ＢＤの交点をＥ，線分ＡＤを２：３の比に内分する点をＦ，直線ＦＥと直線ＤＣの交点をＧとする。
参考図
次の[ア]には、下の{0}～{4}のうちから当てはまるものを一つ選べ。
∠ＡＢＣの大きさが変化するとき四角形ＡＢＣＤの外接円の大きさも変化することに注意すると、∠ＡＢＣの大きさがいくらであっても、∠ＤＡＣと大きさが等しい角は、∠ＤＣＡと∠ＤＢＣと[ア]である。
{0} ∠ＡＢＤ {1} ∠ＡＣＢ {2} ∠ＡＤＢ
{3} ∠ＢＣＧ {4} ∠ＢＥＧ
このことよりＥＣ／ＡＥ＝[イ]／[ウ]である。次に、△ＡＣＤと直線ＦＥに着目すると、ＧＣ／ＤＧ＝[エ]／[オ]である。
(1) 直線ＡＢが点Ｇを通る場合について考える。
このとき、△ＡＧＤの辺ＡＧ上に点Ｂがあるので、ＢＧ＝[カ]である。
また、直線ＡＢと直線ＤＣが点Ｇで交わり、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは同一円周上にあるので、ＤＣ＝[キ]√[ク]である。
(2) 四角形ＡＢＣＤの外接円の直径が最小となる場合について考える。
このとき、四角形ＡＢＣＤの外接円の直径は[ケ]であり、∠ＢＡＣ＝[コサ]°である。
また、直線ＦＥと直線ＡＢの交点をＨとするとき、ＧＣ／ＤＧ＝[エ]／[オ]の関係に着目してＡＨを求めると、ＡＨ＝[シ]である。
※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。
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2017年の大学入試センター試験数学１Ａ２Ｂを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
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■ 解説
そして次は、「∠ＡＣＤと直線ＦＥに着目すると、ＧＣ／ＤＧ＝[エ]／[オ]」とあります。
∠ＡＣＤ，直線ＦＥに着目・・・さらに、聞いているのがＧＣ／ＤＧです。
こんな形のときは、メネラウスの定理を使うのがノーマルですね！
「頂点→三角形内部の点→対辺→頂点→頂点→辺上の点→最初の頂点」
のように分数を掛けていくと、イコール１になる。と理解しておくと覚えやすいと思います。
すでに長さや比がわかっている辺とＧＣ，ＤＧを使えるように、点Ａから出発してぐるっと１周してＡに戻ってくるように式にしてみます。
(ＡＥ／ＥＣ)・(ＣＧ／ＧＤ)・(ＤＦ／ＦＡ)＝１
(２／１)・(ＣＧ／ＧＤ)・(３／２)＝１
３ＣＧ／ＧＤ＝１
ＣＧ／ＧＤ＝１／３
∴ＧＣ／ＤＧ＝１／３
よって、[エ]＝１，[オ]＝３
次の記事→⑤[カ]まで
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