2016年大学入試センター試験数学1A第5問 ⑥[ク]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学1A第5問の[ク]までを解説します。

2016年1A第5問ここまでの記事→①図の確認②[ア]まで③[ウ]まで④[オ]まで⑤[カ]まで


■ 問題

2016年センター試験数1Aより

第5問

 四角形ABCDにおいて、AB=4,BC=2,DA=DCであり、4つの頂点A,B,C,Dは同一円周上にある。対角線ACと対角線BDの交点をE,線分ADを2:3の比に内分する点をF,直線FEと直線DCの交点をGとする。

参考図

 次の[ア]には、下の{0}~{4}のうちから当てはまるものを一つ選べ。

 ∠ABCの大きさが変化するとき四角形ABCDの外接円の大きさも変化することに注意すると、∠ABCの大きさがいくらであっても、∠DACと大きさが等しい角は、∠DCAと∠DBCと[ア]である。

{0} ∠ABD  {1} ∠ACB  {2} ∠ADB
{3} ∠BCG  {4} ∠BEG

 このことよりEC/AE=[イ]/[ウ]である。次に、△ACDと直線FEに着目すると、GC/DG=[エ]/[オ]である。

(1) 直線ABが点Gを通る場合について考える。
 このとき、△AGDの辺AG上に点Bがあるので、BG=[カ]である。
 また、直線ABと直線DCが点Gで交わり、4点A,B,C,Dは同一円周上にあるので、DC=[キ]√[ク]である。

(2) 四角形ABCDの外接円の直径が最小となる場合について考える。
 このとき、四角形ABCDの外接円の直径は[ケ]であり、∠BAC=[コサ]°である。
 また、直線FEと直線ABの交点をHとするとき、GC/DG=[エ]/[オ]の関係に着目してAHを求めると、AH=[シ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

(1)の続きです。

「また、直線ABと直線DCが点Gで交わり、4点A,B,C,Dは同一円周上にある」

とわざわざ言っているので、方べきの定理を使って欲しいのだと思います。
とりあえずここでは、その通りにやってみましょう!

GC・GD=GB・GA

という式ができます。
GC,GDは、まだ長さはわかっていないので文字でおきます。
GC=xとすれば、GD=3xですね。
これらと、GB=3,GA=7を代入すると、

x・3x=3×7
3x^2=21
 x^2=7
  x=√7

つまり、GC=√7です。

ということで、DC=2GC=2√7ですね!

よって、[キ]=2,[ク]=7


次の記事→⑦[コサ]まで

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