2016年１Ａ第５問ここまでの記事→①図の確認、②[ア]まで、③[ウ]まで、④[オ]まで、⑤[カ]まで、⑥[ク]まで
■ 問題
2016年センター試験数１Ａより
第５問
四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝２，ＤＡ＝ＤＣであり、４つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは同一円周上にある。対角線ＡＣと対角線ＢＤの交点をＥ，線分ＡＤを２：３の比に内分する点をＦ，直線ＦＥと直線ＤＣの交点をＧとする。
参考図
次の[ア]には、下の{0}～{4}のうちから当てはまるものを一つ選べ。
∠ＡＢＣの大きさが変化するとき四角形ＡＢＣＤの外接円の大きさも変化することに注意すると、∠ＡＢＣの大きさがいくらであっても、∠ＤＡＣと大きさが等しい角は、∠ＤＣＡと∠ＤＢＣと[ア]である。
{0} ∠ＡＢＤ {1} ∠ＡＣＢ {2} ∠ＡＤＢ
{3} ∠ＢＣＧ {4} ∠ＢＥＧ
このことよりＥＣ／ＡＥ＝[イ]／[ウ]である。次に、△ＡＣＤと直線ＦＥに着目すると、ＧＣ／ＤＧ＝[エ]／[オ]である。
(1) 直線ＡＢが点Ｇを通る場合について考える。
このとき、△ＡＧＤの辺ＡＧ上に点Ｂがあるので、ＢＧ＝[カ]である。
また、直線ＡＢと直線ＤＣが点Ｇで交わり、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは同一円周上にあるので、ＤＣ＝[キ]√[ク]である。
(2) 四角形ＡＢＣＤの外接円の直径が最小となる場合について考える。
このとき、四角形ＡＢＣＤの外接円の直径は[ケ]であり、∠ＢＡＣ＝[コサ]°である。
また、直線ＦＥと直線ＡＢの交点をＨとするとき、ＧＣ／ＤＧ＝[エ]／[オ]の関係に着目してＡＨを求めると、ＡＨ＝[シ]である。
※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。
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■ 解説
では、(2)に取りかかりましょう！
(2) 四角形ＡＢＣＤの外接円の直径が最小となる場合について考える。
このとき、四角形ＡＢＣＤの外接円の直径は[ケ]であり、∠ＢＡＣ＝[コサ]°である。
とあります。
四角形ＡＢＣＤの外接円が最小になる場合をたずねています。
ＡＢ＝４，ＢＣ＝２は決まっていることに注意して、いろいろなパターンを考えてみると・・・
ＡＢが直径のときが、円Ｏは最小になるとわかると思います。
ＡＢは弦なので、もしＡＢが直径でなかったら、その直径は必ずＡＢより長くなります。
だから、ＡＢが直径のときが円Ｏは最小となります。
よって、[ケ]＝４
続いて、ＡＢが直径のとき、∠ＢＡＣを求めていきましょう。
ＡＢは直径なので、円周角の定理より、△ＡＢＣはＡＢを斜辺とする直角三角形になります。
直角三角形ならば三平方の定理が成り立ちます。
ＡＢ＝４，ＢＣ＝２なので、１：２：√３の直角三角形であることがわかります。
ならば角度は３０°，６０°，９０°ですね。
よって、[コサ]＝３０°
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