2016年1A第5問ここまでの記事→①図の確認、②[ア]まで、③[ウ]まで、④[オ]まで、⑤[カ]まで、⑥[ク]まで
■ 問題
2016年センター試験数1Aより
第5問
四角形ABCDにおいて、AB=4,BC=2,DA=DCであり、4つの頂点A,B,C,Dは同一円周上にある。対角線ACと対角線BDの交点をE,線分ADを2:3の比に内分する点をF,直線FEと直線DCの交点をGとする。
参考図
次の[ア]には、下の{0}~{4}のうちから当てはまるものを一つ選べ。
∠ABCの大きさが変化するとき四角形ABCDの外接円の大きさも変化することに注意すると、∠ABCの大きさがいくらであっても、∠DACと大きさが等しい角は、∠DCAと∠DBCと[ア]である。
{0} ∠ABD {1} ∠ACB {2} ∠ADB
{3} ∠BCG {4} ∠BEG
このことよりEC/AE=[イ]/[ウ]である。次に、△ACDと直線FEに着目すると、GC/DG=[エ]/[オ]である。
(1) 直線ABが点Gを通る場合について考える。
このとき、△AGDの辺AG上に点Bがあるので、BG=[カ]である。
また、直線ABと直線DCが点Gで交わり、4点A,B,C,Dは同一円周上にあるので、DC=[キ]√[ク]である。
(2) 四角形ABCDの外接円の直径が最小となる場合について考える。
このとき、四角形ABCDの外接円の直径は[ケ]であり、∠BAC=[コサ]°である。
また、直線FEと直線ABの交点をHとするとき、GC/DG=[エ]/[オ]の関係に着目してAHを求めると、AH=[シ]である。
※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。
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■ 解説
では、(2)に取りかかりましょう!
(2) 四角形ABCDの外接円の直径が最小となる場合について考える。
このとき、四角形ABCDの外接円の直径は[ケ]であり、∠BAC=[コサ]°である。
とあります。
四角形ABCDの外接円が最小になる場合をたずねています。
AB=4,BC=2は決まっていることに注意して、いろいろなパターンを考えてみると・・・
ABが直径のときが、円Oは最小になるとわかると思います。
ABは弦なので、もしABが直径でなかったら、その直径は必ずABより長くなります。
だから、ABが直径のときが円Oは最小となります。
よって、[ケ]=4
続いて、ABが直径のとき、∠BACを求めていきましょう。
ABは直径なので、円周角の定理より、△ABCはABを斜辺とする直角三角形になります。
直角三角形ならば三平方の定理が成り立ちます。
AB=4,BC=2なので、1:2:√3の直角三角形であることがわかります。
ならば角度は30°,60°,90°ですね。
よって、[コサ]=30°
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