2016年大学入試センター試験数学2B第1問[1] ⑧最後まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の最後までを解説します。

2016年2B第1問[1]ここまでの記事→①分数の指数②指数と対数③[オ]まで④[カ]まで⑤[ケ]まで⑥[サ]まで⑦[シ]まで


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第1問

[ 1 ]
(1) 8^(5/6)=[ア]√[イ],log[27](1/9)=[ウエ]/[オ]である。


(2) y=2^xのグラフとy=(1/2)^xのグラフは[カ]である。

y=2^xのグラフとy=log[2]xのグラフは[キ]である。

y=log[2]xのグラフとy=log[1/2]xのグラフは[ク]である。

y=log[2]xのグラフとy=log[2](1/x)のグラフは[ケ]である。

 [カ]~[ケ]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

{0}同一のもの  {1}xに関して対称  
{2}y軸に関して対称  {3}直線y=xに関して対称


(3) x>0の範囲における関数y={log[2](x/4)}^2-4log[4]x+3の最小値を求めよう。

 t=log[2]xとおく。このとき、y=t^2-[コ]t+[サ]である。また、xがx>0の範囲を動くとき、tのとり得る値の範囲は[シ]である。[シ]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0}t>0  {1}t>1  {2}t>0かつt≠1  {3}実数全体

 したがって、yはt=[ス]のとき、すなわち、x=[セ]のとき、最小値[ソタ]をとる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

そして最後はyの最小値に関する問題です。

先ほど⑦[シ]までで、y=t^2-6t+7と表しました。

これの最小値を求めます。
普通に2次関数なので、平方完成して頂点を求めます。

y=t^2-6t+7
 =(t^2-6t+9)-9+7
 =(t-3)^2-2

よって、頂点(t,y)=(3,-2)であることがわかりました。

tの定義域は実数全体なので、この頂点は定義域内にあります。
つまり、これが最小値です。


設問では、t,yだけでなくxの値も聞いているので、最小のときのxの値を求めてみましょう!

t=log[2]xにt=3を代入すると、
3=log[2]x

指数・対数の関係から、

x=2^3
 =8

つまり、t=3のとき、すなわち、x=8のとき最小値-2となります。

よって、[ス]=3,[セ]=8,[ソタ]=-2


次の記事→⑨解答一覧と公式・性質

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