2016年大学入試センター試験数学2B第1問[2] ⑤[ニ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の[ニ]までを解説します。

2B第1問[2]ここまでの解説→①ラジアンの基本②[チ]まで③[ツ]まで④[ト]まで


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第1問

[2] kを正の定数として

  (cosx)^2-(sinx)^2+k{1/(cosx)^2-1/(sinx)^2}=0  ……{1}

を満たすxについて考える。

(1) 0<x<π/2の範囲で{1}を満たすxの個数について考えよう。

 {1}の両辺に(sinx)^2・(cosx)^2をかけ、2倍角の公式を用いて変形すると

{(sin2x)^2/[チ]-k}cos2x=0  ……{2}

を得る。
したがって、kの値に関係なく、x=π/[ツ]のときはつねに{1}が成り立つ。

また、0<x<π/2の範囲で0<(sin2x)^2≦1であるから、k>[テ]/[ト]のとき、{1}を満たすxはπ/[ツ]のみである。

一方、0<k<[テ]/[ト]のとき、{1}を満たすxの個数は[ナ]個であり、k=[テ]/[ト]のときは[ニ]個である。


(2) k=4/25とし、π/4<x<π/2の範囲で{1}を満たすxについて考えよう。

 {2}によりsin2x=[ヌ]/[ネ]であるから

 cos2x=[ノハ]/[ヒ]

である。したがって

 cosx=√[フ]/[ヘ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

前回の記事④[ト]までで、kの値は、1/4を境目に場合分けできることがわかりました。

次の設問は、それぞれの場合を満たすxの個数です。

まず、0<k<1/4のときです。

この場合は、カッコの中がゼロの場合と、cos2xがゼロの場合に等式が成り立ちます。

0<k<1/4のときは、カッコの中がゼロになる場合が2通りあります。
xは、0<x<π/2なので、0<2x<πです。
例えば、sin(π/6)=1/2ですが、sin(5π/6)も1/2です。
このように、サインのある特定の値は、第1象限と第2象限に1個ずつあります。
ということで、{(sin2x)^2/4-k}=0となるxは2個あります。

そして、cos2x=0の場合が1個ありましたね。

つまり、0<k<1/4のとき、{1}を満たすxの個数は3個です。


次にk=1/4の場合を考えます。

この場合も、カッコの中がゼロの場合とcos2xがゼロの場合が考えられます。

しかし、④[ト]まででも少し言及しましたが、k=1/4でカッコの中身がゼロのときは、(sin2x)^2=1のときなので、2x=π/2となります。
cos(π/2)=0なので、sin2x=1のとき、cos2x=0となってしまいます。

ということは、等式を満たすxは1個しかない。とわかりますね!

よって、[ナ]=3,[ニ]=1


次の記事→⑥[ヒ]まで

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