2016年大学入試センター試験数学2B第1問[2] ⑥[ヒ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の[ヒ]までを解説します。

2B第1問[2]ここまでの解説→①ラジアンの基本②[チ]まで③[ツ]まで④[ト]まで⑤[ニ]まで


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第1問

[2] kを正の定数として

  (cosx)^2-(sinx)^2+k{1/(cosx)^2-1/(sinx)^2}=0  ……{1}

を満たすxについて考える。

(1) 0<x<π/2の範囲で{1}を満たすxの個数について考えよう。

 {1}の両辺に(sinx)^2・(cosx)^2をかけ、2倍角の公式を用いて変形すると

{(sin2x)^2/[チ]-k}cos2x=0  ……{2}

を得る。
したがって、kの値に関係なく、x=π/[ツ]のときはつねに{1}が成り立つ。

また、0<x<π/2の範囲で0<(sin2x)^2≦1であるから、k>[テ]/[ト]のとき、{1}を満たすxはπ/[ツ]のみである。

一方、0<k<[テ]/[ト]のとき、{1}を満たすxの個数は[ナ]個であり、k=[テ]/[ト]のときは[ニ]個である。


(2) k=4/25とし、π/4<x<π/2の範囲で{1}を満たすxについて考えよう。

 {2}によりsin2x=[ヌ]/[ネ]であるから

 cos2x=[ノハ]/[ヒ]

である。したがって

 cosx=√[フ]/[ヘ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

次は(2)です。

k=4/25とした場合、π/4<x<π/2の範囲で{1}の式について考える問題です。

{(sin2x)^2/4-k}cos2x=0

この式にk=4/25を代入してみると、

{(sin2x)^2/4-4/25}cos2x=0

sin2xの値を求めたいので、これを計算してみます。
カッコの中身がゼロになれば、等式を満たすので、

(sin2x)^2/4-4/25=0
     (sin2x)^2/4=4/25
       (sin2x)^2=16/25
         sin2x=±4/5
π/4<x<π/2なので、sin2x=4/5

そして、三角比の相互関係より、(sinθ)^2+(cosθ)^2=1なので、

(4/5)^2+(cos2x)^2=1
16/25+(cos2x)^2=1
(cos2x)^2=9/25
cos2x=±3/5
π/4<x<π/2なので、cos2x=-3/5

よって、[ヌ]=4,[ネ]=5,[ノハ]=-3,[ヒ]=5


次の記事→⑦最後まで

トップページ


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html

vol.291の記事を分割してお送りしています。
1回にまとめてご覧になりたい方は、該当する回を含む月のバックナンバーをご購入ください。


-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
 かかる費用は授業料と教材費(定価)のみ!生徒募集中です!

プロ家庭教師の江間です。     AE個別学習室
http://www.a-ema.com/k/      http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------

この記事へのコメント