2016年大学入試センター試験数学2B第1問[2] ⑦最後まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の最後までを解説します。

2B第1問[2]ここまでの解説→①ラジアンの基本②[チ]まで③[ツ]まで④[ト]まで⑤[ニ]まで⑥[ヒ]まで


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第1問

[2] kを正の定数として

  (cosx)^2-(sinx)^2+k{1/(cosx)^2-1/(sinx)^2}=0  ……{1}

を満たすxについて考える。

(1) 0<x<π/2の範囲で{1}を満たすxの個数について考えよう。

 {1}の両辺に(sinx)^2・(cosx)^2をかけ、2倍角の公式を用いて変形すると

{(sin2x)^2/[チ]-k}cos2x=0  ……{2}

を得る。
したがって、kの値に関係なく、x=π/[ツ]のときはつねに{1}が成り立つ。

また、0<x<π/2の範囲で0<(sin2x)^2≦1であるから、k>[テ]/[ト]のとき、{1}を満たすxはπ/[ツ]のみである。

一方、0<k<[テ]/[ト]のとき、{1}を満たすxの個数は[ナ]個であり、k=[テ]/[ト]のときは[ニ]個である。


(2) k=4/25とし、π/4<x<π/2の範囲で{1}を満たすxについて考えよう。

 {2}によりsin2x=[ヌ]/[ネ]であるから

 cos2x=[ノハ]/[ヒ]

である。したがって

 cosx=√[フ]/[ヘ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

cos2x=-3/5はわかったので、2倍角の公式を利用して、cosxを求めてみましょう!

cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2

でしたね。これは、三角比の相互関係を利用していくつかの形に変形できます。
今回はcosxを求めたいので、sinxを消去しましょう。

(sinx)^2+(cosx)^2=1
       (sinx)^2=1-(cosx)^2

これを代入してみると、

cos2x=(cosx)^2-{1-(cosx)^2}
     =(cosx)^2-1+(cosx)^2
     =2(cosx)^2-1

両辺を入れ替えてcos2x=-3/5を代入すると、

2(cosx)^2-1=-3/5
  2(cosx)^2=2/5     ←移行した
   (cosx)^2=1/5
     cosx=√(1/5)
     cosx=√5/5    ←有理化した

よって、[フ]=5,[ヘ]=5


次の記事→⑧解答一覧と公式・性質

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