2016年大学入試センター試験数学2B第2問 ①微分と極値

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第2問に関して、微分と極値について解説します。


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第2問

 座標平面上で、放物線y=(1/2)x^2+1/2をC1とし、放物線y=(1/4)x^2をC2とする。

(1) 実数aに対して、2直線x=a,x=a+1とC1,C2で囲まれた図形Dの面積Sは

  S=∫[a~a+1]{(1/[ア])x^2+1/[イ])dx
   =a^2/[ウ]+a/[エ]+[オ]/[カキ]

である。Sはa=[クケ]/[コ]で最小値[サシ]/[スセ]をとる。


(2) 4点(a,0),(a+1,0),(a+1,1),(a,1)を頂点とする正方形をRで表す。aがa≧0の範囲を動くとき、正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。

 直線y=1は、C1と(±[ソ],1)で、C2と(±[タ],1)で交わる。したがって、正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならないのは、0≦a≦[チ]のときである。

 [ソ]≦a≦[チ]のとき、正方形Rは放物線C1とx軸の間にあり、この範囲でaが増加するとき、Tは[ツ]。[ツ]に当てはまるものを、次の{0}~{2}のうちから一つ選べ。

{0}増加する  {1}減少する  {2}変化しない

 したがって、Tが最大になるaの値は、0≦a≦[ソ]の範囲にある。
 0≦a≦[ソ]のとき、(1)の図形Dのうち、正方形Rの外側にある部分の面積Uは

  U=a^3/[テ]+a^2/[ト]

である。よって、0≦a≦[ソ]において

  T=-a^3/[ナ]-a^2/[ニ]+a/[ヌ]+[オ]/[カキ] ……{1}

である。{1}の右辺の増減を調べることにより、Tは

  a=([ネノ]+√[ハ])/[ヒ]

で最大値をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

2016年数学2B第2問は、微分積分が主なポイントになっています。
まずは、微分に関する基本的な用語と方法について確認しておきましょう!

まず、微分してできた関数のことを導関数といいます。
微分は「指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける」というイメージで計算できます。また、微分した関数には、’(ダッシュ)をつけます。

★ y=x^nならば、y'=nx^(n-1)

この微分してできた関数y'が導関数ですね。

また、★定数を微分すると0になります。

そして、この導関数は、接線の傾きを表します。
高校数学でよく出てくる2次関数や3次関数などは、曲線です。
曲線は接線を引いてみると、場所によってその傾きが異なります。
この傾きの変化を表した式が「導関数」です。

つまり、ある特定の場所の接線の傾きを求めたかったら、導関数にその点のx座標を代入すればよいのです。
そして、そのy'の値を「微分係数」といいます。

さらに、導関数は接線の傾きを表すので、接線について考えるときはまず微分!とイメージしておくとよいです。


次に極値について確認しておきましょう。

曲線のグラフを描いてみると、線が山のようになったり谷のようになったりする部分ができることがあります。

この山や谷の部分のyの値を「極値」と呼びます。
関数は、極値のところを境に増加から減少に、または、減少から増加に転じます。
つまり、極値を境に接線の傾きの符号が変わるのです。

ということは、★「極値のときの導関数の値(=微分係数)は0」になる。と言えます。

そして、この極値が、その周辺より大きいとき(山)が「極大値」で、周辺より小さいとき(谷)が「極小値」です。

数学2の微分積分のメインとなる3次関数では、この極大極小がとても重要です。


次の記事では、積分の基本について解説します。


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