2016年大学入試センター試験数学2B第2問 ②積分の基本

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第2問に関して、積分の基本について解説します。

2016年2B第2問ここまでの記事→①微分と極値


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第2問

 座標平面上で、放物線y=(1/2)x^2+1/2をC1とし、放物線y=(1/4)x^2をC2とする。

(1) 実数aに対して、2直線x=a,x=a+1とC1,C2で囲まれた図形Dの面積Sは

  S=∫[a~a+1]{(1/[ア])x^2+1/[イ])dx
   =a^2/[ウ]+a/[エ]+[オ]/[カキ]

である。Sはa=[クケ]/[コ]で最小値[サシ]/[スセ]をとる。


(2) 4点(a,0),(a+1,0),(a+1,1),(a,1)を頂点とする正方形をRで表す。aがa≧0の範囲を動くとき、正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。

 直線y=1は、C1と(±[ソ],1)で、C2と(±[タ],1)で交わる。したがって、正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならないのは、0≦a≦[チ]のときである。

 [ソ]≦a≦[チ]のとき、正方形Rは放物線C1とx軸の間にあり、この範囲でaが増加するとき、Tは[ツ]。[ツ]に当てはまるものを、次の{0}~{2}のうちから一つ選べ。

{0}増加する  {1}減少する  {2}変化しない

 したがって、Tが最大になるaの値は、0≦a≦[ソ]の範囲にある。
 0≦a≦[ソ]のとき、(1)の図形Dのうち、正方形Rの外側にある部分の面積Uは

  U=a^3/[テ]+a^2/[ト]

である。よって、0≦a≦[ソ]において

  T=-a^3/[ナ]-a^2/[ニ]+a/[ヌ]+[オ]/[カキ] ……{1}

である。{1}の右辺の増減を調べることにより、Tは

  a=([ネノ]+√[ハ])/[ヒ]

で最大値をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

そして、微分の逆が積分です。

導関数f'(x)を積分すると、もとの関数f(x)になる。という関係です。

微分するときには、「指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける」という方法だったので、積分するときはこれの逆をして、

★「指数を1上げて、新しい指数で割る」

とすれば、積分できるのです。

例えば、x^2を積分すると、(1/3)x^3となります。

また、★積分は、基本的に、積分した関数と横軸との間の面積を表します。

物理や図形の公式には、微分積分の関係になっているものがいくつもあるので、探してみると良いですよ!


次の記事→③[カキ]まで

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