2016年大学入試センター試験数学2B第2問 ③[カキ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第2問の[カキ]までを解説します。

2016年2B第2問ここまでの記事→①微分と極値②積分の基本


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第2問

 座標平面上で、放物線y=(1/2)x^2+1/2をC1とし、放物線y=(1/4)x^2をC2とする。

(1) 実数aに対して、2直線x=a,x=a+1とC1,C2で囲まれた図形Dの面積Sは

  S=∫[a~a+1]{(1/[ア])x^2+1/[イ])dx
   =a^2/[ウ]+a/[エ]+[オ]/[カキ]

である。Sはa=[クケ]/[コ]で最小値[サシ]/[スセ]をとる。


(2) 4点(a,0),(a+1,0),(a+1,1),(a,1)を頂点とする正方形をRで表す。aがa≧0の範囲を動くとき、正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。

 直線y=1は、C1と(±[ソ],1)で、C2と(±[タ],1)で交わる。したがって、正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならないのは、0≦a≦[チ]のときである。

 [ソ]≦a≦[チ]のとき、正方形Rは放物線C1とx軸の間にあり、この範囲でaが増加するとき、Tは[ツ]。[ツ]に当てはまるものを、次の{0}~{2}のうちから一つ選べ。

{0}増加する  {1}減少する  {2}変化しない

 したがって、Tが最大になるaの値は、0≦a≦[ソ]の範囲にある。
 0≦a≦[ソ]のとき、(1)の図形Dのうち、正方形Rの外側にある部分の面積Uは

  U=a^3/[テ]+a^2/[ト]

である。よって、0≦a≦[ソ]において

  T=-a^3/[ナ]-a^2/[ニ]+a/[ヌ]+[オ]/[カキ] ……{1}

である。{1}の右辺の増減を調べることにより、Tは

  a=([ネノ]+√[ハ])/[ヒ]

で最大値をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

では今回の問題に入りましょう!

まず問題を確認すると、C1,C2を以下のようにおいています。

「放物線y=(1/2)x^2+1/2をC1」「放物線y=(1/4)x^2をC2」

2つの2次関数が与えられていますね。
これらについての設問は・・・

(1) 実数aに対して、2直線x=a,x=a+1とC1,C2で囲まれた図形Dの面積Sは

  S=∫[a~a+1]{(1/[ア])x^2+1/[イ])dx
   =a^2/[ウ]+a/[エ]+[オ]/[カキ]

である。

C1とC2の間の面積を聞いています。
そんなときは、「上ひく下で積分」すればOK!
「C1とx軸の間の面積」と「C2とx軸の間の面積」の差が図形Dになりますね!

C1とC2では、C1の方が上側にあるので、C1-C2をaからa+1の区間で
積分して、

S=∫[a~a+1]{(1/2)x^2+1/2-(1/4)x^2}dx
 =∫[a~a+1]{(2/4)x^2+1/2-(1/4)x^2}dx
 =∫[a~a+1]{(1/4)x^2+1/2}dx

とりあえず積分の式はできました。

よって、[ア]=4,[イ]=2

これを計算してみると・・・

 =[(1/4)(1/3)x^3+(1/2)x][a~a+1]
 =(1/12)(a+1)^3+(1/2)(a+1)-{(1/12)a^3+(1/2)a}
 =(1/12)(a^3+3a^2+3a+1-a^3}+a/2+1/2-a/2
 =(1/12)(3a^2+3a+1)+1/2
 =3a^2/12+3a/12+1/12+6/12
 =a^2/4+a/4+7/12

よって,[ウ]=4,[エ]=4,[オ]=7,[カキ]=12


次の記事→④[スセ]まて

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