2016年大学入試センター試験数学2B第2問 ⑤[チ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第2問の[チ]までを解説します。

2016年2B第2問ここまでの記事→①微分と極値②積分の基本③[カキ]まで④[スセ]まで


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第2問

 座標平面上で、放物線y=(1/2)x^2+1/2をC1とし、放物線y=(1/4)x^2をC2とする。

(1) 実数aに対して、2直線x=a,x=a+1とC1,C2で囲まれた図形Dの面積Sは

  S=∫[a~a+1]{(1/[ア])x^2+1/[イ])dx
   =a^2/[ウ]+a/[エ]+[オ]/[カキ]

である。Sはa=[クケ]/[コ]で最小値[サシ]/[スセ]をとる。


(2) 4点(a,0),(a+1,0),(a+1,1),(a,1)を頂点とする正方形をRで表す。aがa≧0の範囲を動くとき、正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。

 直線y=1は、C1と(±[ソ],1)で、C2と(±[タ],1)で交わる。したがって、正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならないのは、0≦a≦[チ]のときである。

 [ソ]≦a≦[チ]のとき、正方形Rは放物線C1とx軸の間にあり、この範囲でaが増加するとき、Tは[ツ]。[ツ]に当てはまるものを、次の{0}~{2}のうちから一つ選べ。

{0}増加する  {1}減少する  {2}変化しない

 したがって、Tが最大になるaの値は、0≦a≦[ソ]の範囲にある。
 0≦a≦[ソ]のとき、(1)の図形Dのうち、正方形Rの外側にある部分の面積Uは

  U=a^3/[テ]+a^2/[ト]

である。よって、0≦a≦[ソ]において

  T=-a^3/[ナ]-a^2/[ニ]+a/[ヌ]+[オ]/[カキ] ……{1}

である。{1}の右辺の増減を調べることにより、Tは

  a=([ネノ]+√[ハ])/[ヒ]

で最大値をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

次は(2)です。

(2) 4点(a,0),(a+1,0),(a+1,1),(a,1)を頂点とする正方形をRで表す。aがa≧0の範囲を動くとき、正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。

「正方形R」が登場しました。
この正方形Rは、1辺がx軸上にあり、4辺の長さは全て1です。

図形Dは、(1)で考えた、aからa+1の範囲の2つの放物線の間の図形です。

そして、このRとDの共通部分の面積をTとしています。

まずはここまでグラフを描きながら、情報をよく整理してくださいね!


では、まず前提条件とでも言えるような設問です。
このような誘導がなくても、まずはわかることを一つ一つ求める。ということは重要ですよ!

「直線y=1は、C1と(±[ソ],1)で、C2と(±[タ],1)で交わる」ととあります。

これらの座標は、y=1を代入すれば求められますね!

C1:y=(1/2)x^2+1/2に、y=1を代入して、
(1/2)x^2+1/2=1
      x^2+1=2
        x^2=1
         x=±1

C2:y=(1/4)x^2に、y=1を代入して、
(1/4)x^2=1
    x^2=4
     x=±2

よって、[ソ]=1,[タ]=2


正方形Rは、1辺が1の正方形なので、y=1のところが正方形の上端です。
C1,C2は下に凸の放物線なので、C2とy=1の交点のところから外れない範囲に正方形Rの端っこが少しでも触れていれば、RとDの共通部分は存在することになります。

ということは、「正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならない」のは、0≦a≦2であることがわかると思います。

よって、[チ]=2


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