2016年大学入試センター試験数学2B第3問 ④[ス]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第3問の[ス]までを解説します。

2016年2B第3問ここまでの記事→①問題の確認②[イ]まで③[ウエ]まで


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第3問

 真分数を分母の小さい順に、分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列

  1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,…

を{an}とする。真分数とは、分子と分母がともに自然数で、分子が分母より小さい分数のことであり、上の数列では、約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形解答する場合は、[解答上の注意]にあるように、それ以上約分できない形で答えよ。

(1) a15=[ア]/[イ]である。また、分母に初めて8が現れる項は、a[ウエ]である。

(2) kを2以上の自然数とする。数列{an}において、1/kが初めて現れる項を第Mk項とし、(k-1)/kが初めて現れる項を第Nk項とすると

  Mk=([オ]/[カ])k^2-([キ]/[ク])k+[ケ]
  Nk=([コ]/[サ])k^2-([シ]/[ス])k

である。よって、a104=[セソ]/[タチ]である。

(3) kを2以上の自然数とする。数列{an}の第Mk項から第Nk項までの和は、([ツ]/[テ])k-[ト]/[ナ]である。したがって、数列{an}の初項から第Nk項までの和は

  ([ニ]/[ヌ])k^2-([ネ]/[ノ])k

である。よって

  Σ[n=1~103]an=[ハヒフ]/[ヘホ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

(2)からは、「がんばって書く」だけではちょっと厳しいです。
問題の条件をよく把握して、素直に式を作っていきましょう!


(2) kを2以上の自然数とする。数列{an}において、1/kが初めて現れる項を
第Mk項とし、(k-1)/kが初めて現れる項を第Nk項とすると

  Mk=([オ]/[カ])k^2-([キ]/[ク])k+[ケ]
  Nk=([コ]/[サ])k^2-([シ]/[ス])k


「Mkは1/kが初めて現れる項」「Nkは(k-1)/kが初めて現れる項」だそうです。

言い換えれば、
1/kは分母がkの最初の項で、(k-1)/kは分母がkの最後の項です。

このように考えてみると、Nkは、②[イ]までで作った式と同じものを指していることがわかります。

ならば、まずはNkから求めてみましょう!

n=s(s-1)/2という式のsは分母がsの項の最後までの項数です。
「Nkは(k-1)/kが初めて現れる項」です。同じ意味ですね!
n=Nk,s=kと置き換えて、

Nk=k(k-1)/2
  =(1/2)k^2-(1/2)k

MkとNkを比べてみると、分母はどちらもkで同じで、分子が1とk-1です。
ということは、Mkは、Nkよりもk-2項だけ前の項ですね。
つまり、

Mk=Nk-(k-2)
  =(1/2)k^2-(1/2)k-k+2
  =(1/2)k^2-(3/2)k+2

よって、[オ]=1,[カ]=2,[キ]=3,[ク]=2,[ケ]=2,[コ]=1,
[サ]=2,[シ]=1,[ス]=2


次の記事→⑤[タチ]まで

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